Limites et asymptotes

[Orange59]

Bonjour,
Dans une première question, on me demande de donner le domaine de définition de tan x. J'ai mis (corrigez moi si c'est faux) que tan x = sin x /cos x. Donc il faut que cos x ;) 0, x ;) pi/2 ou x ;) -pi/2, non ? Donc on en déduit que Df = ]-infinie, -pi/2[U]-pi/2;pi/2[U]pi/2 ; + infinie[. Est ce que cela est juste ?
Dans une seconde question, on me demande de déterminer les limites de tan x sur I et ses asymptotes.
J'ai donc écris : lim (x tend vers pi/2) tan x = lim (x tend vers pi/2) sin x / cos x = forme indéterminée.
Ensuite on regarde les limites sur pi/2+ (quand on approche par des valeurs positives) et sur pi/2- (quand on approche par des valeurs négatives) on trouve respectivement +infinie et -infinie, c'est juste ?
Le problème que j'ai c'est que je me demande si mon ensemble de définition est juste parce qu'il faudrait ensuite déterminer les limites lorsque x tend vers -pi/2 qui est aussi une forme indéterminée et donc il faudrait ensuite trouver les limites lorsque x tend vers -pi/2+ et -pi/2-... On obtiendrai respectivement - infinie et +infinie. On aurait donc ensuite deux asymptotes : x = pi/2 et x = -pi/2 qui sont toutes les deux des asymptotes verticales.
Le problème c'est que je trouve ça bizarre, comme s'il y avait quelque chose de faux, si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait...
Merci d'avance :)

[ExarKun]

Bonjour,

Pour le domaine de définition il faut que simplement que cos(x) soit différent de zéro.
De plus il faut prendre en compte que cette fonction (cos(x)) est périodique (de période 2pi).

[Orange59]

Bonjour,

Pour le domaine de définition il faut que simplement que cos(x) soit différent de zéro.
De plus il faut prendre en compte que cette fonction (cos(x)) est périodique (de période 2pi).

Oui mais si cos x est différent de 0 alors x = pi/2 ou -pi/2.
Quelle est le rapport avec la périodicité ? Vous voulez dire qu'il faut marquer que les asymptotes sont répétitives ?

[ExarKun]

Ce que je veux dire c'est que x = -pi/2 et x = pi/2 ne sont pas les seuls valeurs pour lequel cos(x) = 0.

Pour les asymptotes le plus simple est de montrer que tan(x) est périodique de période pi pour pouvoir l'étudier sur ]-pi/2 ; pi/2[ et tu peux reprendre ton raisonnement (qui est correct sur cet intervalle).

[Orange59]

Ce que je veux dire c'est que x = -pi/2 et x = pi/2 ne sont pas les seuls valeurs pour lequel cos(x) = 0.

Pour les asymptotes le plus simple est de montrer que tan(x) est périodique de période pi pour pouvoir l'étudier sur ]-pi/2 ; pi/2[ et tu peux reprendre ton raisonnement (qui est correct sur cet intervalle).

Effectivement, j'ai déjà montré que tan est impaire et pi périodique et que donc on peut l'étudier sur ]-pi/2 ; pi/2[. Donc ce qu'il faut faire si j'ai bien compris, c'est chercher la limite de tan lorsque x tend vers pi/2+ ; pi/2- ; -pi/2+ et -pi/2- ?
Et pour l'ensemble de définition on aura Df = ]- infini, 0[U]0, + infinie[ ? ou Df = R(réels) / {pi/2 + 2kpi}

[ExarKun]

Effectivement, j'ai déjà montré que tan est impaire et pi périodique et que donc on peut l'étudier sur ]-pi/2 ; pi/2[. Donc ce qu'il faut faire si j'ai bien compris, c'est chercher la limite de tan lorsque x tend vers pi/2+ ; pi/2- ; -pi/2+ et -pi/2- ?

Non -pi/2+ et pi/2- ça suffit

[Orange59]

Non -pi/2+ et pi/2- ça suffit

D'accord mais ce n'est pas bizarre de dire que la limite est +/- infini sur -pi/2+ et pas sur -pi/2- (de même pour pi/2-)? J'ai l'impression de faire que la moitié... non ?
Et donc pour l'ensemble de définition on a : Df = R / {pi/2 + 2kpi} c'est cela ?

[ExarKun]

Non Df = R \ { pi/2 + kpi} avec k appartenant à Z.

Non c'est normal car ta fonction est pi-périodique. La limite en -pi/2- revient à faire la limite en pi/2-.

[Orange59]

Non Df = R \ { pi/2 + kpi} avec k appartenant à Z.

Non c'est normal car ta fonction est pi-périodique. La limite en -pi/2- revient à faire la limite en pi/2-.

Ah oui je comprend, donc il faut dire que la fonction est pi périodique avant & par contre pour la limite en pi/2- je trouve -infinie or selon la calculette il faudrait trouver + infinie... (pour la limite en -pi/2+ je trouve bien - infinie ce qui concorde avec la calculette)
Ah et aussi avant vous disiez qu'on pouvait l'étudier sur [-pi/2 ; pi/2] or c'est une fonction impaire donc on peut l'étudier sur [0 ; pi/2] non ?

[ExarKun]

Oui tu as raison ;-)

Pour la limite, détails ton calcul !

[Orange59]

Oui tu as raison

Pour la limite, détails ton calcul !

Je le rédigerai comme cela dans mon DM :

On a déterminer dans la question d'avant qu'il était plus judicieux d'étudier la fonction sur [0 ; pi/2[ car elle est périodique et impaire. Ne prenons en compte que la périodicité, dès lors on étudie la fonction sur ]-pi/2 ; pi/2[. Limite (x tend vers -pi/2+) sin x / cos x = -1/0+ = - infinie. Limite (x tend vers pi/2-) sin x / cos x = 1/0- = -infinie

[ExarKun]

Je le rédigerai comme cela dans mon DM :

On a déterminer dans la question d'avant qu'il était plus judicieux d'étudier la fonction sur [0 ; pi/2[ car elle est périodique et impaire. Ne prenons en compte que la périodicité, dès lors on étudie la fonction sur ]-pi/2 ; pi/2[. Limite (x tend vers -pi/2+) sin x / cos x = -1/0+ = - infinie. Limite (x tend vers pi/2-) sin x / cos x = 1/0- = -infinie

Très bien pour la rédaction.
La limite de cos(x) quand x tend vers pi/2- est 0+.

[Orange59]

Très bien pour la rédaction.
La limite de cos(x) quand x tend vers pi/2- est 0+.

D'accord merci. Une dernière question : il nous est demandé ensuite de montrer que tan est dérivable sur son ensemble de définition puis établier deux expressions de sa dérivée (je sais déjà que ses dérivées sont 1/cos²x et 1 - (ou +) tan x. Je sais aussi que pour montrer qu'une fonction est dérivable en un certain point il faut montrer que son taux d'accroissement à une limite finie. Il faut donc faire f(a+h) - f(a) le tout sur h, donc cela équivaut à faire ce taux d'accroissement en pi/2 et -pi/2 c'est cela ? Nous aurons donc pour pi/2 par exemple : f(pi/2+h) - f(pi/2) / h = tan (pi/2+h)-tan(pi/2)/h = ?

[ExarKun]

C'est 1 + tan²(x).

Pour la dérivabilité il faut juste dire que et sin(x) et cos(x) sont dérivables sur R\{pi/2 + kpi} et cos(x) ne s'annule pas sur cet intervalle.

[Orange59]

Oui sauf qu'il faut prouver que sin et cos sont dérivable sur R /{pi/2 + kpi}, on ne peut pas le marquer juste comme cela si ?
Ah oui et donc aussi pour la question d'avant on a plusieurs asymptotes en x = pi/2 (2pi) (peut-on l'écrire comme cela) ?

[ExarKun]

Si je pense que tu répondre ça.

x = pi/2 (2pi) ?

(2pi) : modulo 2pi ?

[Orange59]

Si je pense que tu répondre ça.


(2pi) : modulo 2pi ?

Oui modulo 2pi, c'est correct si on l'écrit comme cela ?

[ExarKun]

Oui modulo 2pi, c'est correct si on l'écrit comme cela ?

Oui si c'est la notation de ton prof. C'est modulo Pi d'ailleurs.

[Orange59]

Oui si c'est la notation de ton prof. C'est modulo Pi d'ailleurs.

Justement, c'est ça le problème on a jamais défini des asymptotes périodiques donc je sais pas comment le noter

[ExarKun]

Justement, c'est ça le problème on a jamais défini des asymptotes périodiques donc je sais pas comment le noter

Je parlais pour la notation du modulo.
Sinon oui c'est clair comme ça.