Limites, Asymptotes, changements de repères

[Anonyme]

--
Bonjour,
je bloque sur des questions et je doute de mes réponses:

f est la fonction définie sur lR par f(x)= V( 1 + x² ) ( V = racine carré
de [1 +x²] )
C sa courbe représentative dans un repère orthonormal Z( o, i, j )

1. Démontrez que C a un axe de symétrie.
Pour cette question j'ai dit que la fonction x² est une fonction paire
f(-x)= f(x) qu'elle est décroissante sur ]-oo; 0] et croissante sur [0 ;
+oo[ et que l'axe de symétrie était l'axe des ordonnées mais je sais pas si
c'est suffisant, dois-je démontrer avec des exemples comme f(2) et f(-2)
sachant qu'une racine est toujours positive???

2. Etudiez les limites de f en +oo et en -oo:
j'ai trouvé que lim en +oo de f(x) était +oo pareil pour lim de -oo
puisqu'une racine est toujours positive, est-ce exacte??

3. vérifiez que f(x) - x = 1/[x + V(1 + x²)] ; V(1+x²) = racine carré
de (1 + x²)
alors là je bloque, parce que si je soustrais f(x) par x j'obtiens :

f(x) - x) = [V( 1+x² )] - x
J'ai pensé utiliser l'expression conjuguée tel que f(x) - x = [V( 1+x²) -
x ] * [ V( 1+x²) + x ]
ou a multiplier f(x) - x = 1 / x + V ( 1 + x²) par l'expression conjuguée ce
qui me donne :
f(x) - x = [x - V(1+x²) ] / [ x+ V( 1+x²)]*[ x- V( 1+x² ) ]
= [ x - V(1+x² )]/ [x² - 1 + x² ]
= [ x -V( 1+x²)] / -1
= -x + V( 1+ x² )
mais je ne trouve pas l'expression du début soit f(x), pouvez-vous m'aider
svp??

- en déduire une asymptote oblique d en + oo, précisez la position de C par
rapport à d : alors là je bloque, je sais que pour avoir une asymptote
oblique je dois avoir f(x) = ax + b + (c/d) mais je sais pas du tout comment
la trouver

4. C' est la représentation graphique de la fonction g définie sur IR par
g(x) = -f(x)
H est la réunion des courbes C et C'
Vérifiez que H a pour équation dans le repère orthonormal Z ( o, i, j ) :
y²-x² = 1, j'ai fait pour cette question :
y²-x²= 1
d'où y² = x² +1
y = V( x²+1 ) on remarque que cette expression est égale à f(x ) ce
qui est logique vu que -f(x) est toujours positive car une racine est
toujours positive, est- ce juste ??????

Voilà, j'ai essayé de faire cet exercice, je vous ai donné mes réponses pour
savoir si elles étaient justes ou pas, je vous remercie d'avance pour votre
aide.

Caroline


déduisez-en que C a une asymptote oblique d en +oo

Salutations.
jkimmel@noos.fr

[Anonyme]

"Jose KIMMEL" a écrit dans le message de news:
3f7adb89$0$14768$79c14f64@nan-newsreader-03.noos.net...
>
> Bonjour,

Bonjour

> je bloque sur des questions et je doute de mes réponses:
>
> f est la fonction définie sur lR par f(x)= V( 1 + x² ) ( V = racine
carré
> de [1 +x²] )
> C sa courbe représentative dans un repère orthonormal Z( o, i, j )
>
> 1. Démontrez que C a un axe de symétrie.
> Pour cette question j'ai dit que la fonction x² est une fonction paire
> f(-x)= f(x) qu'elle est décroissante sur ]-oo; 0] et croissante sur [0
;
> +oo[ et que l'axe de symétrie était l'axe des ordonnées mais je sais
pas si
> c'est suffisant, dois-je démontrer avec des exemples comme f(2) et
f(-2)
> sachant qu'une racine est toujours positive???

Oui f(-x)=f(x) prouve que l'axe des ordonnées est axe de symétrie de C.

> 2. Etudiez les limites de f en +oo et en -oo:
> j'ai trouvé que lim en +oo de f(x) était +oo pareil pour lim de -oo
> puisqu'une racine est toujours positive, est-ce exacte??

Oui, d'ailleurs la parité implique que les deux limites sont identiques

> 3. vérifiez que f(x) - x = 1/[x + V(1 + x²)] ; V(1+x²) = racine
carré
> de (1 + x²)
> alors là je bloque, parce que si je soustrais f(x) par x j'obtiens :
>
> f(x) - x) = [V( 1+x² )] - x
> J'ai pensé utiliser l'expression conjuguée tel que f(x) - x = [V(
1+x²) -
> x ] * [ V( 1+x²) + x ]

Bonne idée mais multiplier par le conjugué au numérateur et au
dénominateur.
Je note V=racine de (1+x²) pour simplifier.
f(x) - x = V -x = (V-x)(V+x) / (V+x) = (V² - x² )/ (V+x )
Or V²-x²=(1+x²) - x² = 1
d'où f(x)-x = 1/(V+x) cqfd

> ou a multiplier f(x) - x = 1 / x + V ( 1 + x²) par l'expression
conjuguée ce
> qui me donne :
> f(x) - x = [x - V(1+x²) ] / [ x+ V( 1+x²)]*[ x- V( 1+x² ) ]
> = [ x - V(1+x² )]/ [x² - 1 + x² ]
> = [ x -V( 1+x²)] / -1
> = -x + V( 1+ x² )
> mais je ne trouve pas l'expression du début soit f(x), pouvez-vous
m'aider
> svp??
>
> - en déduire une asymptote oblique d en + oo, précisez la position de
C par
> rapport à d : alors là je bloque, je sais que pour avoir une asymptote
> oblique je dois avoir f(x) = ax + b + (c/d) mais je sais pas du tout
comment
> la trouver

Je ne sais pas ce que tu veux dire par (c/d). Tu as une asymptote
oblique si f(x)=ax+b+g(x) avec g(x) fonction tendant vers 0 quand x tend
vers +infini ou -infini.

Sous la forme f(x)-x = 1 / (x+racine(1+x²))
on voit que le terme de droite tend vers 0 quand x tend vers +infini
ou -infini
Donc f(x)-x tend vers 0, f(x) asymptote à la droite y=x

>
> 4. C' est la représentation graphique de la fonction g définie sur IR
par
> g(x) = -f(x)
> H est la réunion des courbes C et C'
> Vérifiez que H a pour équation dans le repère orthonormal Z ( o, i,
j ) :
> y²-x² = 1, j'ai fait pour cette question :
> y²-x²= 1
> d'où y² = x² +1
> y = V( x²+1 ) on remarque que cette expression est égale à
f(x ) ce
> qui est logique vu que -f(x) est toujours positive car une racine est
> toujours positive, est- ce juste ??????

Cette solution te donne la partie de H correspondant à C

Mais y²=x²+1 est aussi vérifié si y=-V(x²+1)
Cela n'est pas contradictoire avec le fait qu'une racine soit toujours
positive.
Cette deuxième solution te donne la partie C' de H.

>
> Voilà, j'ai essayé de faire cet exercice, je vous ai donné mes
réponses pour
> savoir si elles étaient justes ou pas, je vous remercie d'avance pour
votre
> aide.
>
> Caroline
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
3f7adf7e$0$13299$626a54ce@news.free.fr...
>
> Sous la forme f(x)-x = 1 / (x+racine(1+x²))
> on voit que le terme de droite tend vers 0 quand x tend vers +infini
> ou -infini
> Donc f(x)-x tend vers 0, f(x) asymptote à la droite y=x

Correction:
Quand x tend vers +infini uniquement
Désolé...

--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

Merci beaucoup M. Bruno pour votre aide, ça m'a fait très plaisir que vous
m'apportiez des réponses à mes questions.
Je vous souhaite une bonne après-midi et @bientôt sur le forum.
Caroline

[Anonyme]

oups :( j'avais oublié de vous poser encore une petite question:

à la fin on me dit :

on considère un nouveau repère Z ( o, u, v ) soit u et v deux vecteurs avec
:

u ( vecteur ) = [V(2) /2] * ( i + j )
et v ( vecteur ) = [V(2)/2] * ( -i + j )
soit i ( vecteur ) et j ( vecteur )

Un point M ( x; y ) dans Z a pour coordonnées ( X; Y) dans Z' ( je pense que
Z' est le nouveau repère )
Exprimez x et y en fonction de X et Y. Donnez une équation de H dans Z'.
Alors là je ne sais pas quoi faire, dois-je remplacer les coordonnées de M
dans une équation?????

Désolé pour l'oubli et pour le dérangement.
Merci d'avance.

Caroline

[Anonyme]

Dans le message :3f7ae709$0$23225$79c14f64@nan-newsreader-02.noos.net,
Jose KIMMEL a écrit :
> oups j'avais oublié de vous poser encore une petite question:
>
> à la fin on me dit :
>
> on considère un nouveau repère Z ( o, u, v ) soit u et v deux
> vecteurs avec[color=green]
>>
>
> u ( vecteur ) = [V(2) /2] * ( i + j )
> et v ( vecteur ) = [V(2)/2] * ( -i + j )
> soit i ( vecteur ) et j ( vecteur )
>
> Un point M ( x; y ) dans Z a pour coordonnées ( X; Y) dans Z' ( je
> pense que Z' est le nouveau repère )
> Exprimez x et y en fonction de X et Y. Donnez une équation de H dans
> Z'. Alors là je ne sais pas quoi faire, dois-je remplacer les
> coordonnées de M dans une équation?????
>
> Désolé pour l'oubli et pour le dérangement.
> Merci d'avance.
>
> Caroline[/color]

pour tout point M,
vect(OM)= x i + y j = X u + Y v
(i,j,u,v désignant les vecteurs)

donc x i + y j = [X V(2)/2] (i+j) + [Y V(2)/2] (-i+j)
donc x = X V(2)/2 + Y V(2)/2 et y = ...
M(x,y) appartient à H si y²=1+x²
remplacer x et y en fonction de X et Y pour obtenir l'équation de H dans
le repère Z'

--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

Merci une fois de plus M.Bruno et désolé de vous avoir dérangé.
@bientôt
Caroline.

[Anonyme]

Excusez moi encore M.Bruno mais en lisant vos conseils et en essayant de
refaire mon exercice, je n'ai pas réussi à comprendre votre solution à la
question 4 :

"pour tout point M,
vect(OM)= x i + y j = X u + Y v
(i,j,u,v désignant les vecteurs)

donc x i + y j = [X V(2)/2] (i+j) + [Y V(2)/2] (-i+j)
donc x = X V(2)/2 + Y V(2)/2 et y = ...
M(x,y) appartient à H si y²=1+x²
remplacer x et y en fonction de X et Y pour obtenir l'équation de H dans
le repère Z'"

j'ai compris jusqu'à: xi + yj = [XV(2)/2] ( i+j) + [YV(2)/2]( -i+j)
mais par la suite je ne vois pas comment vous trouvez x et donc pr le y
c'est pareil...
J'ai essayé de le retrouver par rapport à des calculs en commençant par u +v
où je trouve u+v = [V(2)/2] * j, mais je bloque complètement. A part ça
votre raisonnement était très clair, j'ai pu refaire sans aucune difficulté
mon exercice.

Merci d'avance
Caroline

[Anonyme]

Am 1/10/03 19:04, sagte Jose KIMMEL (totojkimmel@noos.fr) :

> Excusez moi encore M.Bruno mais en lisant vos conseils et en essayant de
> refaire mon exercice, je n'ai pas réussi à comprendre votre solution à la
> question 4 :
>
> "pour tout point M,
> vect(OM)= x i + y j = X u + Y v
> (i,j,u,v désignant les vecteurs)
>
> donc x i + y j = [X V(2)/2] (i+j) + [Y V(2)/2] (-i+j)
> donc x = X V(2)/2 + Y V(2)/2 et y = ...
> M(x,y) appartient à H si y²=1+x²
> remplacer x et y en fonction de X et Y pour obtenir l'équation de H dans
> le repère Z'"
>
> j'ai compris jusqu'à: xi + yj = [XV(2)/2] ( i+j) + [YV(2)/2]( -i+j)
> mais par la suite je ne vois pas comment vous trouvez x et donc pr le y
> c'est pareil...
> J'ai essayé de le retrouver par rapport à des calculs en commençant par u +v
> où je trouve u+v = [V(2)/2] * j, mais je bloque complètement. A part ça
> votre raisonnement était très clair, j'ai pu refaire sans aucune difficulté
> mon exercice.

il faut savoir que dans une base de vecteurs (en gros, dans un système où tu
exprimes tes vecteurs en fonctions de vecteurs unitaires comme i, j), on a
unicité de l'écriture d'un vecteur

je m'explique : si v (un vecteur) est tel que v = x i + y j
et que tu as aussi v = x' i + y' j
alors forcément x = x' et y = y'
on appelle x et y les coordonnés du vecteur dans la base (i,j), et ils sont
donc uniques

est ce que tu comprends mieux maintenant ?
c'est exacteemnt cela que bruno utilise plus haut

bon courage



albert

--

Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
antworten

[Anonyme]

Dans le message :3f7b0927$0$24685$79c14f64@nan-newsreader-02.noos.net,
Jose KIMMEL a écrit :
> Excusez moi encore M.Bruno mais en lisant vos conseils et en essayant
> de refaire mon exercice, je n'ai pas réussi à comprendre votre
> solution à la question 4 :
>
> "pour tout point M,
> vect(OM)= x i + y j = X u + Y v
> (i,j,u,v désignant les vecteurs)
>
> donc x i + y j = [X V(2)/2] (i+j) + [Y V(2)/2] (-i+j)
> donc x = X V(2)/2 + Y V(2)/2 et y = ...
> M(x,y) appartient à H si y²=1+x²
> remplacer x et y en fonction de X et Y pour obtenir l'équation de H
> dans
> le repère Z'"
>
> j'ai compris jusqu'à: xi + yj = [XV(2)/2] ( i+j) + [YV(2)/2]( -i+j)
> mais par la suite je ne vois pas comment vous trouvez x et donc pr le
> y c'est pareil...
> J'ai essayé de le retrouver par rapport à des calculs en commençant
> par u +v où je trouve u+v = [V(2)/2] * j, mais je bloque
> complètement. A part ça votre raisonnement était très clair, j'ai pu
> refaire sans aucune difficulté mon exercice.
>
> Merci d'avance
> Caroline

Euh, Bruno tout court, ça ira aussi bien...
xi + yj = [XV(2)/2] ( i+j) + [YV(2)/2]( -i+j)
C'est une égalité vectorielle. i et j sont les deux vecteurs de base du
repère.
a i + b j = c i + d j implique a = c et b = d
(autre façon de le voir (a-c)i + (b-d)j=0 implique a-c=0 et b-d=0


--
Cordialement
Bruno

[Anonyme]

Je vous remercie Albert et Bruno pour vos explications en les lisant j'ai
eut une "illumination" :)... encore merci.
Bonne soirée
Caroline.

[Anonyme]

Bonjour,

albert junior écrivait :

> je m'explique : si v (un vecteur) est tel que v = x i + y j
> et que tu as aussi v = x' i + y' j
> alors forcément x = x' et y = y'

Tiens pourquoi au fait ? Comment démontrer ça ?
Je m'aperçois que je sais pas le justifier.

Merci.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel écrivait :
[color=green]
>> je m'explique : si v (un vecteur) est tel que v = x i + y j
>> et que tu as aussi v = x' i + y' j
>> alors forcément x = x' et y = y'
>
> Tiens pourquoi au fait ? Comment démontrer ça ?
> Je m'aperçois que je sais pas le justifier.[/color]

Ah ben non en fait
J'ai rien dit

--
Michel, fatigué.
[overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Le 1 Oct 2003 18:05:48 GMT,
Michel grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > je m'explique : si v (un vecteur) est tel que v = x i + y j
> > et que tu as aussi v = x' i + y' j
> > alors forcément x = x' et y = y'
>
> Tiens pourquoi au fait ? Comment démontrer ça ?
> Je m'aperçois que je sais pas le justifier.[/color]

Tu fais (v-v|v-v) = 0 = ( (x-x')i + (y-y')j | (x-x')i + (y-y')j ) =
|x-x'|^2 + |y-y'|^2

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Am 1/10/03 20:13, sagte Michel (overdose@alussinan.org) :

> Michel écrivait :
>[color=green][color=darkred]
>>> je m'explique : si v (un vecteur) est tel que v = x i + y j
>>> et que tu as aussi v = x' i + y' j
>>> alors forcément x = x' et y = y'
>>
>> Tiens pourquoi au fait ? Comment démontrer ça ?
>> Je m'aperçois que je sais pas le justifier.[/color]
>
> Ah ben non en fait
> J'ai rien dit [/color]

par l'absurde non ?
enfin de toute façon si je cherche je pourrai retrouver la démo.




albert

--

Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
antworten

[Anonyme]

albert junior écrivait :

> par l'absurde non ?

xi+yj - x'i+y'j = 0, puis distributivité du produit d'un réel par un
vecteur.


--
Michel [overdose@alussinan.org]