TS: limite et variations d'exponentielle

[Rockleader]

Bonjour, j'ai un exo à faire et je n'y arrive pas, j'aimerais faire ça assez vite pour attaquer mon dm après _'

g définie sur R par g(x)=exp(x) -x²

1-Calculer la limite de g(x) en + et - inf

2-Etudier les variations de g'(x)

3-Calculer limite de g'(x) en + et - inf

4-Intuitez le signe de g




1-J'ai commencé par +inf.

on a une forme indéterminé puisque e^x tend vers +inf et -x² va tendre vers -inf ...par intuition je dis que l'exponentielle tend plus vite que n'immporte quel polynome après mno DM donc j'ai envie de dire que la limite est +inf; mais comment le justifier j'ai essayé de factorisé par e^x et ça ne me mène à rien...

[Rockleader]

Bon dans l'attente de savoir justifier

1- lim g(x) x==>-inf = -inf car e^x tend vers 0 et -x² vers -inf; lorsque x==>+inf g tends vers +inf j'aimerais savoir le justifier.

2-

g'(x)=e^x - 2x

g'(x) admet 1 comme minimum, décroissant sur -inf;0 et croissant sur 0;+inf

3-

Lim g'(x) quand x==> -inf = + inf car e^x tend vers 0 et -2x vers +inf
Pour x==>+inf: là aussi j'ai dis que la limite valait +inf et j'aimerais savoir le justifier.


4-

Je suppose que g'(x) sera toujours positif.

[Skullkid]

Pour les limites, n'as-tu pas quelque chose dans ton cours qui s'appelle "croissances comparées" ?

Pour la 2 je suis pas d'accord, tu dis que g' admet 1 comme minimum. Pourtant g'(1) = e - 2 < 1.

[Rockleader]

Le prof nous a dis de faire les croissances comparées quand on arrivait sur une forme indéterminé...mais j'ai pas ça dans mon cours moi...
............................................................................................................................
Pour la 2 je suis pas d'accord, tu dis que g' admet 1 comme minimum. Pourtant g'(1) = e - 2 < 1.

............................................................................................................................

Exact; mais comment je fais pour calculer le minimum alors ? J'ai tracé la courbe sur ma calculatrice et j'ai vu qu'il était environ égal à 1...

[Skullkid]

Les croissances comparées c'est la version rigoureuse de "l'exponentielle l'emporte sur les polynômes et les polynômes l'emportent sur le logarithme". C'est une liste de limites à connaître, dont notamment lim (x -> + l'infini) e^x / x^n = + l'infini.

Étudier les variations d'une fonction c'est quelque chose que tu es censé savoir faire... La calculatrice est un bon outil pour conjecturer des résultats ou en vérifier d'autres, mais elle ne fait que des calculs, pas des raisonnements.

[Rockleader]

Ok, alors c'était bien dans mno cours, c'est moi qui n'ais pas sur l'appliqué.

Ecrire lim g(x)=exp(x) -x² quand x--> +inf = +inf

car en fait je peux considérer que

g(x)=exp(x) -x²
g(x)=exp(x)-1/x^-2

Le -1 est négligeable, et là je peux appliquer la formule, c'est bien ça ?

[Skullkid]

Ça veut dire quoi "le -1 est négligeable" ?

Pour appliquer la limite que je t'ai donnée, il faut faire apparaître e^x / x^n. Transformer x² en 1/x^(-2) ne fait pas apparaître une telle quantité.

[Rockleader]

En factorisant j'obtiens

e^x(1-x²/e^x)

Il y a un moyen pour obtenir quelque chose d'exploitable à partir de ça ?

[Skullkid]

Oui, puisque tu connais la limite de x²/e^x.

[Rockleader]

Oui, puisque tu connais la limite de x²/e^x.

Ah daccord; comme l'on sait que la limite quand x tend vers +inf de cette expression est +inf alors on peut dire que la forme factorisé que j'ai trouvé tendra vers 0.

Donc le tout aura la limite de e^x*1 et donc +inf.

Si c'est ça, en fait j'avais commencé par là; mais je n'avais pas compris que l'on pouvait utliser la limite de cette façon, du coup une fosi factorisé j'étais bloqué.

[Skullkid]

Ouais c'est bien ça, il ne te reste plus que ces histoires de signe et de variations.

[Exquise Sensation]

Tu peux aussi factoriser par x² si tu veux bien faire apparaître le quotient e^x/x^n que t'as vu en cours.

[Rockleader]

Tu peux aussi factoriser par x² si tu veux bien faire apparaître le quotient e^x/x^n que t'as vu en cours.

Ouai m'enfin ce serait pas très logique...l'idée c'est de factoriser par le termes qui semble l'emporter sur tout les autres...en l'occurence l'exponentielle.

Mais bon ok.

Bon, j'ai pas le temps de finir ça maintenant, je verrais la correction demain, l'essentiel c'est que 'ai compris comment trouer la limite en +inf que j'avais intuiter...

pour la question 4 je en peux aussi que intuiter car on n'a pas vu le théorème, l'exo est fait pour le préparer...


Bref, je me concentre sur mon dm d'euler maintenant.

Merci bien pour votre aide :lol3: