Limite d'une fonction composée

[patson972]

Bonjour je suis en train de faire un exercice afin de préparer un contrôle et j'ai un doute sur mes calculs...

On a F(x) = racine de {(1-x)/(1+x)}

calculer les limites de f en -1.
Pour la limite en -1 tout en restant légèrement plus petit que -1 , j'ai eu l'idée de décomposer la fonction en : g(x) = (1-x)/(1+x) et h(x) = racine de x.

Ensuite je trouve que lim g(x) lorsque x tend vers -1 tout en restant légèrement plus petit que -1 , je trouve 0- .Donc ensuite conformément à mon théorème je calcule la limite de h(x) en 0- mais c'est là que je bloque car 0- est négatif , or racine de x n'est pas défini pour les nombres négatifs. Ais-je fais une erreur?


merci d'avance

merci d'avance

[fatal_error]

salut,

peut etre peut tu commencer par donner le domaine de definition de la fonction. Apres tu sauras deja si eventuellement peut y avoir une limite en -1

une astuce qui peut servir (ou pas) :

[maturin]

quand tu fais une étude de fonction la première chose à faire et de donner son ensemble de définition (si celui ci n'est pas précisé dans l'énoncé).

là ton ensemble de définition est ]-1;1]
ce que tu trouves en faisant un tableau de signe et en disant que racine(x) n'est pas définie pour x=-1 et x>-1 tu a x+1->0+ mais 1/(x+1) c'est pas la même chose...

[Luc]

Salut,

As-tu essayé de tracer la fonction sur une calculatrice graphique?

En fait, on te demande ici la limite en -1 tout en restant supérieur à -1. Comme tu l'as remarqué, quand x est inférieur à -1, F n'est pas définie car le radicande est négatif. Mais tu as fait une erreur sur la limite de g en -1, en restant inférieur à -1: Cette limite vaut et non 0-. Parce que tu divises 2 par 0-.

Remarque qu'il vaut mieux toujours déterminer l'ensemble de définition de la fonction avant de vouloir calculer sa limite.

Quelle est la limite de g quand x tend vers -1 tout en restant supérieur à -1? Déduis en celle de F.

Luc

EDIT: grilled aussi :briques:

[Luc]

salut,

peut etre peut tu commencer par donner le domaine de definition de la fonction. Apres tu sauras deja si eventuellement peut y avoir une limite en -1

une astuce qui peut servir (ou pas) :

Cette astuce est vraiment excellente en pour faire comprendre la limite d'une fraction rationnelle.

[patson972]

quand tu fais une étude de fonction la première chose à faire et de donner son ensemble de définition (si celui ci n'est pas précisé dans l'énoncé).

là ton ensemble de définition est ]-1;1]
ce que tu trouves en faisant un tableau de signe et en disant que racine(x) n'est pas définie pour x=-1 et x>-1 tu a x+1->0+ mais 1/(x+1) c'est pas la même chose...

merci à tous pour vos réponses. Maturin , comment as-tu trouvé que l'ensemble de définition est ]-1;1] ? moi j'ai dit que l'ensemble de définition est ]0;+ infini] car il y a une racine carrée ....

[Luc]

Non, c'est bien ]-1;1]

Si x > 1, 1-x est négatif, 1+x est positif, donc est négatif, et la racine n'est pas définie.

Luc

[patson972]

Non, c'est bien ]-1;1]

Si x > 1, 1-x est négatif, 1+x est positif, donc est négatif, et la racine n'est pas définie.

Luc

a d'accord. Donc si en contrôle on me pose à peu près la même question , je rédige comme tu la fait luc?
merci de ton aide

[maturin]

ben tu fais un tableau de signe.
Le but est de trouver le signe de (1+x)/(1-x)

et ça c'est du signe de 1+x "fois" signe de 1-x

et pour trouver le signe de 1+x et de 1-x ben comme Luc oui.

[patson972]

ben tu fais un tableau de signe.
Le but est de trouver le signe de (1+x)/(1-x)

et ça c'est du signe de 1+x "fois" signe de 1-x

et pour trouver le signe de 1+x et de 1-x ben comme Luc oui.

ah ok ! mais pourquoi est-ce du signe de 1+x "fois" signe de 1-x ?

[Luc]

Parce que l'inverse d'un nombre négatif est négatif.

Quand tu multiplies x par un nombre négatif, tu changes son signe.
Quand tu divises x par un nombre négatif, tu changes aussi son signe. Car diviser par y c'est multiplier par 1/y.

Luc

[patson972]

Parce que l'inverse d'un nombre négatif est négatif.

Quand tu multiplies x par un nombre négatif, tu changes son signe.
Quand tu divises x par un nombre négatif, tu changes aussi son signe. Car diviser par y c'est multiplier par 1/y.

Luc

merci de votre aide . en effet j'ai bien trouvé le même ensemble de définition que vous :++:

[patson972]

merci de votre aide . en effet j'ai bien trouvé le même ensemble de définition que vous :++:

donc ensuite je trouve que la limite de f(x) est égal à + infini . ( car lim (1-x)/(1+x) = +infini et limite de racine de x en + infini = +infini.

Est-ce bon?

[Luc]

donc ensuite je trouve que la limite de f(x) en -1 à droite est égal à + infini . ( car lim (1-x)/(1+x) = +infini et limite de racine de x en + infini = +infini.

Est-ce bon?

Oui, mais attention de ne pas oublier de dire en quel point tu calcules la limite de f . Parler de "la limite de f" n'a aucun sens si tu ne précises pas le point auquel tu la calcules. On aurait pu calculer la limite de f en 0 par exemple (ça n'a pas grand intérêt, cette limite vaut f(0) car f est continue en 0).

Luc

[patson972]

Oui, mais attention de ne pas oublier de dire en quel point tu calcules la limite de f . Parler de "la limite de f" n'a aucun sens si tu ne précises pas le point auquel tu la calcules. On aurait pu calculer la limite de f en 0 par exemple (ça n'a pas grand intérêt, cette limite vaut f(0) car f est continue en 0).

Luc

MERCI VOUS TOUS , j'ai bien progressé grâce à vous :happy2:

[maturin]

signe(a/b)=signe(a)*signe(b)

en gros pour connaitre le signe de la fraction il faut connaitre le signe de chaque membre.
et après tu fais:
- fois - = +
+ fois + = +
- fois + = -

Je sais pas si tu a déjà fais un tableau de signe mais quand tu as une expression du genre :

avec a<b<c

ton tableau de signe ressemble à:
|-inf a b c +inf
----------------------------------------------
(x-a) | - 0 + + +
(b-x) | + + 0 - -
(x-c) | - - - 0 +
----------------------------------------------
f(x) | + 0 - 0 + inf -

[maturin]

bon la mise en page fait sauter mes alignements à base d'espace.

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9quation_se_r%C3%A9solvant_par_tableau_de_signes

tu peux allez voir sur ce site y a un exemple de beau tableau