Limite

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je souhaite montrer que

On a montré que : donc il est évident que tend vers lorsque n tend vers

Et aussi :

J'aimerais utiliser la composition de limite mais on a des suites mélangées avec des fonctions, du n mélangé avec du x, comment faire ?

[aviateur]

C'est pas possible de te répondre comme ça.
En général pour montrer ça c'est presque immédiatement dans un cours après la définition du log. Et tout dépend du cours.
Perso moi, quand j'étais élève ln(x) a été introduit comme la primitive de 1/x qui s'annule en zéro.
Pour d'autre ça peut introduit comme la fonction réciproque de exp(x)...
il y encore d'autre façon (voir Pascal et sa règle à calcluer)
Alors comment on fait, sur quoi se base-t-on?

[mehdi-128]

J'ai la même définition du ln que vous dans mon livre de MPSI la primitive de 1/x qui s'annule en 1.
Et là mon livre écrit :

La fonction ln est strictement croissante sur R+*, elle admet donc une limite finie ou infine en + l'infini. Et après y a cette démo de la limite avec le 2^n

[aviateur]

Bien voilà. Elle tend vers +\infini

[mehdi-128]

Mais je n'ai pas compris la démo, on mélange des x réels et des entiers n.

[aviateur]

Faut finir par l'absurde.

[mehdi-128]

Je ne vois aucun raisonnement par l'absurde dans mon livre.

La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle puisque sa dérivée ne prend que des valeurs positives. Par suite, en elle admet une limite finie ou infinie. Comme on en déduit

[aviateur]

alors c'est quoi le problème?

[mehdi-128]

Je voulais comprendre d'où sort le résultat suivant (n'ayant pas encore étudié le chapitre des suites et de la continuité de mon livre de MPSI) , je n'ai pas trouvé le théorème correspondant.



J'ai néanmoins essayé de démontrer le résultat. Voici mon raisonnement.

On a montré que :
(1)

On veut montrer que :

Soit fixé dans .

D'après (1) ,

Prenons : . Cette valeur de N dépend bien de M.

[aviateur]

Salut, ça déraille complètement.
D'après (1) ..... blabla. Est ce que ça a du sens?

Tu écris une équivalence du genre "P équivalent à Q" (qui serait la conséquence de (1).)
Mais dans "P" c'est quoi c'est quoi? et ds "Q" n c'est quoi?

[mehdi-128]

(1) est l'écriture formelle de la divergence de la suite vers + l'infini

(2) est l'écriture formelle de la fonction ln qui tend vers + l'infini quand x tend vers + l'infini (résultat à démontrer)

Bah d'après (1) comme diverge vers plus l'infini, pour un réel M fixé, il existe toujours un rang tel que pour :

On a donc pour :

[Tuvasbien]

Pas besoin de tout ça, si ln tend vers l en l'infini, alors ln(2^n) aussi car 2^n tend vers l'infini quand n vers l'infini et par continuité de ln donc ln diverge vers l'infini.

[mehdi-128]

Pas besoin de tout ça, si ln tend vers l en l'infini, alors ln(2^n) aussi car 2^n tend vers l'infini quand n vers l'infini et par continuité de ln donc ln diverge vers l'infini.

Vous n'avez pas compris, je souhaitais montrer que la fonction ln admettait + l'infini comme limite en + l'infini.

[aviateur]

(1)

On veut montrer que : (2).

Soit et comme dans (1).
Alors en posant , on a: pour tout
On a donc (2). C.Q.F.D

[Tuvasbien]

Vous n'avez pas compris, je souhaitais montrer que la fonction ln admettait + l'infini comme limite en + l'infini.

C'est ce que j'ai fait, ln est strictement croissante donc admet une limite en l'infini (fini ou infini). Si on suppose par l'absurde que cette limite est finie et qu'on la note l, alors la suite converge vers l ce qui n'est pas puisqu'elle diverge donc la limite de ln en l'infini est

[pascal16]

perso, on ne démontre pas comme ça que ln tends vers +oo.
supposer ln croissante, c'est la supposer connue, donc de limite +oo

soit tu part que ln comme la fonction inverse de exp, en supposant exp connue.
soit tu part la définition de log en base xxx comme vérifiant pour a et b >0 log(a*b)=log(a)+log(b) et là tu démontres les propriétés de log : croissante, continue et tend vers +oo

[pascal16]

Capes externe 2019 - épreuve 2 - problème 1 - partie A, question VI

On part bien d'un log en base quelconque (tel que la dérivée soit a/x comme axiome, et on a déjà démontré certaines pptés)

[mehdi-128]

Vous n'avez pas compris, je souhaitais montrer que la fonction ln admettait + l'infini comme limite en + l'infini.

C'est ce que j'ai fait, ln est strictement croissante donc admet une limite en l'infini (fini ou infini). Si on suppose par l'absurde que cette limite est finie et qu'on la note l, alors la suite converge vers l ce qui n'est pas puisqu'elle diverge donc la limite de ln en l'infini est

Ah d'accord bien vu j'avais pas pensé à l'absurde, c'est vrai que c'est direct.

On obtient une contradiction.

[mathelot]

Il faut préciser que est archimédien.
ln(2) > 0 car ln(1) = 0 et ln() est strictement croissante sur
Soit A>0 arbitraire.
Il existe tel que
d'où
pour ,

[mehdi-128]

Merci pour vos réponses

Pourquoi préciser que est archimédien ?