Limite en un point à démontrer (trouver Lambda)

[mathelot]

[quote="aldo56"]
donc la définition :

[Manny06]

bonjour

je dois utiliser la définition de la limite en point pour demontrer qu'elle existe

soit la fonction

et la limite à demontrer est: limite f(x) = 7 quand x tend vers 2

donc la définition : afin de démontrer que f admet comme limite 7 au voisinage de 2

Je débute de: , d'ou j'obtiens après calcul:


d'où:

et là je bloque
ce que je sais c'est d'arriver à identifier un en fonction de

merci pour l'aide

pose x=2+h et choisis d'abord h assez petit pour pouvoir majorer |x-4|/|x-1|

[mathelot]

Je débute de: , d'ou j'obtiens après calcul:


d'où:

x est voisin de 2.
On se restreint à
et


d'où (1)
la condition (1) est suffisante pour impliquer le résultat souhaité

[mathelot]

on y est presque. Remplace 4-x par |x-4| vû que x est voisin de 2

[Manny06]

x est voisin de 2.
On se restreint à
et


d'où (1)
la condition (1) est suffisante pour impliquer le résultat souhaité

si on choisit epsilon=1/2 donc alpha=1
est-on sur que sur ]1;3[ |f(x)-7|<1/2 ? (ex calculer f(1,5)=9,5 !!
en réalité il faut rester à l'inégalité |x-2||x-4|/[x-1| < epsilon
puis sur un petit intervalle de centre 2 et rayon h majorer |x-4|/|x-1| par k puis choisir pour alpha min(h,epsilon/k)

[mathelot]

si x tend vers 2, on restreint l'étude des fonctions f et f' à un petit voisinage de 2.

sur f' est bornée (uniformément) par une constante k que j'ai la flemme de calculer.
(2)

on a le droit de primitiver cette inéquation (c'est du programme Bac+1) mais je tente de t'expliquer...



pour rendre inférieur à ,
il suffit de prendre
et donc sans oublier
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Au niveau de la logique formelle, on souhaite

on définit telle que et , en diminuant d'où

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[Manny06]

si x tend vers 2, on restreint l'étude des fonctions f et f' à un petit voisinage de 2.

sur f' est bornée (uniformément) par une constante k que j'ai la flemme de calculer.
(2)

on a le droit de primitiver cette inéquation (c'est du programme Bac+1) mais je tente de t'expliquer...



pour rendre inférieur à ,
il suffit de prendre
et donc sans oublier
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Au niveau de la logique formelle, on souhaite

on définit telle que et , en diminuant d'où

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

sans passer par des th hors bac
si x€]3/2;5/2[ 3/2<4-x<5/2
1/2<x-1<3/2 2/3<1/(x-1)<2
1<(4-x)/(x-1)<5

donc si alpha=min (epsilon/5,1/2) |x-2||x-4|/|x-1|<5|x-2|<epsilon

[Manny06]

bonjour

désolé de revenir sur ce sujet

j'ai essayé de refaire cet exercice mais je pense que tu t'es trompé au niveau de ton encadrement;

ce que j'ai fait

je suis arrivé après calcul:


d'où:

donc l'objet, si j'ai bien compris, est de majorer :

pour l'encadrement de , j'ai suivi ton même raisonnement mais j'aboutis à un intervalle différent:

pour on a : et donc


et enfin:
au final on a (|4-x| =|x-4|):


pour (x-1) on a pour avec d'où

donc

d'où:

ce qui majore le rapport donc c'est

d'où (bien sur sauf erreur!)

merci

NON l'objet est de majorer |x-4|/|x-1|
je t'ai donné un contre exemple en choisissant epsilon=1/2 et x=1,5 on trouve f(x)=9,5 et
|f(x)-f(2)|=2,5 n'est donc pas inférieur à 1/2

[chan79]

bonjour

désolé de revenir sur ce sujet

j'ai essayé de refaire cet exercice mais je pense que tu t'es trompé au niveau de ton encadrement;

Bonjour
Je ne vois pas où Manny06 aurait fait une erreur
on peut bien choisir d'abord plus petit qu'une valeur arbitraire.
Manny06 a choisi 1/2
Prenons
alors
d'une part




d'autre part



on vérifie qu'il suffit de choisir

[Manny06]

d'accord mais tu peux m'éclaircir cette conclusion

si alpha =min(epsilon/5,1/2)
on a |x-2|<1/2 donc on est dans l'intervalle [3/2;5/2]
sur cet intervalle on a majoré |x-4|/|x-1|par 5
donc |x-2|*(|x-4|/|x-1|)<5|x-2|<5alpha or alpha<epsilon/5 donc 5alpha<epsilon
soit |f(x)-f(2)|<epsilon

[Manny06]

[quote="aldo56"]merci mais c'est le début qui me pose problème alors que c'est le résultat auquel on doit aboutir[/QUOTE
Peut-être que ton professeur pourra mieux t'expliquer
ici on raisonne non par équivalence mais en cherchant des conditions SUFFISANTES pour obtenir le résultat voulu