Limite de fonctions

[Helpmeplease13]

Bonjour,

J'ai un petit doute sur une limite de fonction.

J'ai f(x) = ln(x²+4)
g(x)= f(x) - x

En déduire la limite de g en +inf

Donc lim de f(x)=+inf et lim de -x=-inf
par somme, on obtient forme indéterminée. Est-ce exact ?

Merci d'avance !

[Ben314]

Tout a fait exact.
Le "hic", c'est que le fait de dire "c'est une forme indéterminée", c'est très très exactement la même chose que de dire "j'ai aucune idée de ce qu'est la limite" (sauf que ça fait un peu plus "classe", forcément...)

En bref, ça fait pas bien avancer le schmilblick...

Tu as une idée de comment le faire avancer ?

[Helpmeplease13]

On factorise, mais je ne vois pas avec quoi.

[Ben314]

Pour moi (donc c'est discutable), l'idée, c'est que le +4 dans le log, il ne sert pas a grand chose : si par exemple x=100, entre 100² et 100²+4, c'est du "pipi de belette" la différence donc ln(x²+4) c'est "pas loin" de ln(x²)

Le tout, c'est d'exprimer ce truc intuitif de façon mathématique (en particulier pour vérifier qu'on se goure pas dans notre intuition vu que ça arrive quand même assez souvent...)

Le but, c'est de "casser" le ln(x²+4) pour faire "apparaitre" du ln(x²) plus un truc (si notre intuition est bonne) qui comptera pour du beurre.
Or, la propriété essentielle du ln, c'est ln(axb)=ln(a)+ln(b).

Avec ça comme indic., tu voit ce qu'il faut écrire ?

P.S. Tu peut, si tu préfère, commencer par factoriser par "ce qui te semble être le plus grand des deux termes" (c'est lequel a ton avis ?).
Mais il me semble qu'ensuite, tu sera quand même obligé de "casser" le logarithme pour terminer la preuve donc tu commence par... ce que tu veut...

[Helpmeplease13]

On sait que ln(axb)= ln(a)+ln(b)
avec ln(a) = x² et ln(b) = 4 or on a pas ln(axb) ici mais ln(a+b) non ?

[Ben314]

déjà, ton problème n'a rien a voir avec du ln(a)=x^2 ni du ln(b)=4 vu que le x² et le 4 ils sont "à l'intérieur" du log.
Ensuite, effectivement, la formule de base parle de ln(axb) alors que là, tu as du ln(x²+4).
Donc il faut faire "apparaitre" un produit là où on a en fait une somme.
Tu met donc en facteur un des deux termes.
Lequel et pourquoi celui là ?

[Helpmeplease13]

je mets x en facteur, donc ln(x²+4)= ln[x²(1 + 4/x²)]

[Ben314]

Oui : c'est bien le x² qu'il faut mettre en facteur : quand x est "grand", c'est évidement lui qui "compte le plus" dans x²+4

Continue (y'a encore du boulot, mais là, tu as déjà fait la partie la plus compliqué intuitivement parlant)

[Helpmeplease13]

A partir de là, je peux donc appliquer la formule ln(ab)=ln(a)xln(b) ?

[Ben314]

Ben... oui...
(modulo de vérifier vite fait que les deux truc sont positifs vu que, par exemple, d'écrire que
ln(4)=ln(-2x-2)=ln(-2)+ln(-2), ça le fait pas...)

[Helpmeplease13]

Donc on a ln(x² + 4) = ln[x²(1 + 4/x²)] = ln(x²) + ln(1 + 4/x²) = 2lnx + ln(1 + 4/x²) pour x > 0

Si je mets x en facteur dans le premier et deuxième terme, j'ai x(2ln) + ln[x(1+4x/x^3)] - x(1/x)

Est-ce juste ?

[Ben314]

Donc on a ln(x² + 4) = ln[x²(1 + 4/x²)] = ln(x²) + ln(1 + 4/x²) = 2lnx + ln(1 + 4/x²) pour x > 0

Si je mets x en facteur dans le premier et deuxième terme, j'ai x(2ln) + ln[x(1+4x/x^3)] - x(1/x)

Le truc en bleu, c'est bon.
Par contre ensuite, je vois pas trop ce que tu as fait...
Pour le moment, ce qu'on a fait, c'est de "simplifier" l'expression ln(x² + 4). Je met des guillemet à "simplifier" vu qu'à première vu le résultat semble plus compliqué que le départ.
Sauf que le "morceau compliqué", à savoir ln(1 + 4/x²), on s'en fout vu qu'il tend assez clairement vers 0 lorsque x->oo. On va donc le recopier (pour que mathématiquement parlant ce soit juste), mais on en tient pas vraiment compte.

Bilan : pour revenir au problème de départ, tu en est là :
f(x)-x = 2ln(x) - x + ln(1 + 4/x²)
Sachant que le 3em morceau, tu en tient pas compte (il tend vers 0).
Pour les deux premiers, c'est à dire 2ln(x)-x tu propose quoi pour déterminer la limite lorsque x->oo ?

Indic : Factoriser le morceau qui semble être le "plus gros"...

[Helpmeplease13]

Si je factorise 2lnx-x, j'ai :

x(2lnx/x-1)

Donc quand x tend vers +inf :

lim de x = +inf
lim de (2lnx/x-1)= -1 puisque lim lnx/x = 0 par produit lim = -inf

Donc sachant que lim ln(1+4/x²)=0 par somme lim de g(x) = - inf

Juste ?

[Ben314]

Nickel.

[Helpmeplease13]

Bien, merci beaucoup pour l'aide apportée !

Bonne soirée !