Limite de fonction pour prouver une asymptote...??

[alice32]

J'ai la fonction f(x)=x-ln(2+(1/x)) définie sur ]0;+infini[
Je veux prouver que la droite d'équation y=x-ln2 est asymptote à C (courbe représentative de f)


Voila ce que j'ai fait :

Je cherche donc la limite en +infini de f(x)-(x-ln2)
donc de -ln(1/x)

Je pose X= 1/x

Limites en +infini:

lim (1/x) = 0+ par quotient
lim ln(1/x) = -infini par composition

donc lim -ln(1/x) = +infini par produit

Pourquoi la limite n'est-elle pas égale à zéro?
Ou est mon erreur?

[Omar]

bonjour,
tu as essayé de calculer la limite de f(x)-(x-ln(2)) en +l'inf non ?
Tu dois la trouver égale à 0 d'après le cours !!
bon si tu fait la soustraction tu auras lim de -ln(2+1/x)+ln(2) kan x tend vers + 'linf puis tu as la lim de 1/x est égal à 0 donc la lim de -ln(2+1/x) sera -ln(2)
et enfin la lim finale sera 0 puisque ça te donnera ln(2)-ln(2) =0 donc tu en déduit que y=x-ln(2) est asymptote à C en + l'inf!!! :we:

[Huppasacee]

Ne pas oublier que , pour que ce soit une asymptote, il faut que
f(x) - (x + ln2) soit toujours du même signe, tout au moins à partir d'un xo éventuellement
En effet, la courbe peit osciller autour de la droite, auquel cas ce n'est pas ce qu'on appelle une asymptote !
Donc étudier le signe de la différence !

[alice32]

Ok donc ca j'ai compris...
Maintenant pour étudier la position de l'asymptote par rapport à la courbe il faut étudier le signe de f(x)-(x-ln2) donc de -ln(2+(1/x))+ln2

Mais je ne sais pas comment faire pour étudier le signe...

[alice32]

Pour étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote j'ai fait :
-ln(2+(1/x))+ln2 > 0
ln2 > ln(2+(1/x))
2+(1/x) < 2
1/x < 0

La fonction est définie sur ]o;+infini[ donc x > 0

donc x < 0

donc la courbe est au dessus de son asymptote pour x < 0 et au dessous pour x > 0

Est-ce juste?

[Omar]

tu as supposé dans ce cas que: -ln(2+(1/x))+ln2 > 0 ce qui veut dire que Cf est au dessus de l'asymptote non ?
donc d'après ce que tu as fait tu as trouvé que 1/x < 0 ce qui est totalement faux puisque x > 0 donc l'hypothèse que tu as posé au début est fausse ce qui laisse entendre que son contre est juste : -ln(2+(1/x))+ln2< 0 donc Cf est au dessous de l'asymptote !! :we: :we: