Lim sinX/X

[geogeo123]

Bonjour tout le monde, j'ai un Dm à rendre pour la semaine prochaine et j'aurai besoin de votre aide pour certain points.
Avant de commencer je voudrais juste préciser que ca sert à rien de me dire " utilise le theoreme de l'hospital" Je suis en terminal ...

L'énoncé:

1. F est la fonction définie sur [0;pi/2] par F(x)= sin x -x

A) Etudier les variations de F. [C'est ok]
B) En déduire que pour tout réel x de [0;pi/2] , sinx x. [Voir plus bas]

2. G est la fonction définie sur [0;pi/2] par G(x)= Sin x-xCos x
A)Etudier les variations de G. [Voir plus bas]
B)En déduire que pour tout réel x de [0;pi/2] , xCos x Sin x. [Voir plus bas]

3.a Démontrer que pour tout réel x de [-pi/2;0] U [0;pi/2] : Cos x Sin x/x 1
b En déduire avec le theoreme des gendarmes que lim Sinx/x en 0 est 1. [Pas encore essayé]




Réponse

1.b) Ok


2.a) En dérivé je trouve : xSinx. Pareil ici je veut juste savoir si mon résultat est juste ?
Le tableau en découle ...

2.b) je suis entrain de la revoir

Pour la suite je verai après

Merci à tous pour votre aide

[Ericovitchi]

Sin x - x >= 0 d'ou :
Sin x >= -x
Sin x = 0 --> Sin x >= x (quand on passe le (x de l'autre coté il devient x)
et puis Sin x >= -x --> Sin x sin x <= x

2.a) En dérivé je trouve : xSinx

la dérivée de sin x - cos x c'est x sin x !!! revois tes dérivées.

[geogeo123]

Merci pour ta réponse :)

Ou la oui désolé pour La 1.B j'ai pas mis les inégalité dans le bon sens et j'ai inverser certaines choses. Je vais reprendre tout le poste et le remtre droit car là ....

[geogeo123]

la dérivé de Sin x - xCos x ce serait pas -xSin x ?

[geogeo123]

Par contre quand je cherche :

-xSinx =0
Comment je peut faire pour trouver la valeur de x ?

[Ericovitchi]

la dérivé de Sin x - xCos x ce serait pas -xSin x ?

+ xsinx
(parce que la dérivée de cos c'est -sin)

-xSinx =0 Comment je peut faire pour trouver la valeur de x ?

soit c'est le x=0 et donc x=0
soit c'est le sinus. Et un sinus c'est nul pour x=k pi

[geogeo123]

Erf j'ai encore oublier le signe du coup ...
Pour xsinx = 0 on à x= 0 car soit x=0 soit sinx = 0 et sin x=0 <=> x= 0 car x E [0;pi/2]

Donc g'(x) est toujours positive sur l'ensemble de définition. ?

[Ericovitchi]

ben oui c'est ce que tu viens de démontrer.

[geogeo123]

Oui mais bon j'ai fait tellement de boulette depuis tout à l'heure que je vérifie TOUT maintenen.

Pour la 3.a par contre je vois pas du tout car sin on par de l'inequation -1=+ 1 On arrive pas à grand chose

[Ericovitchi]

tu as donc démontré que Sin x-xCos x > 0 donc sinx >= xcos x ou encore sinx/x>= cos x et avec la première question tu avais déjà sin x <= x ou
sinx/x <=0
donc tu as bien démontré les deux cotés de ton inégalité
Cos x <= Sin x/x <= 1

[geogeo123]

Merci beaucoup pour toutes ces réponses :) L'exo est fini :D
Bonne journée :)