Lieux géometriques dans le plan complexe - Terminale S

[Mr Eko]

Bonsoir à tous les forumeurs charitables de ce site !
Je vous appelle à l'aide car un exercice m'ennuie:

Dans le plan complexe rapporté à un plan orthonormal :
On associe à M d'affixe z = x+iy (z différent de -3i)
M' d'affixe z' = (z-1+i)/(3-iz)

Je dois trouver:
1) l'ensemble E1 des points M tel que z' réel
2) l'ensemble E2 des points M tel que |z'|=2

1) z' réel ssi z-1+i réel
ssi 3-iz réel
ssi z=-i (je n'écris pas toutes mes étapes de calcul)

Cela me donne le point M(0;-1) que je trouve léger pour un ensemble !!

2)|z'| = |z-1+i| / |3-iz|
Je trouve donc |z'|= ((x-1)+i(y+1)) / ((3+y)-ix)

|z'|=2 ssi |z'|-2=0
ssi x-2y-7 =0 ; 2x+y+1 =0
ssi x=1 ; y=-3

Cela me donne donc M(1;-3) que je trouve lui aussi léger pour un ensemble !!


=> Vous voyez donc que j'ai travaillé cet exercice mais je n'arrive pas à trouver d' "ensembles". Merci d'avance !!!!

[anima]

Bonsoir à tous les forumeurs charitables de ce site !
Je vous appelle à l'aide car un exercice m'ennuie:

Dans le plan complexe rapporté à un plan orthonormal :
On associe à M d'affixe z = x+iy (z différent de -3i)
M' d'affixe z' = (z-1+i)/(3-iz)

Je dois trouver:
1) l'ensemble E1 des points M tel que z' réel

Ton ensemble est un peu léger a mon gout aussi
z' réel ssi z'=a.
Donc, z'=(a-1+i)/3 = (a-1)/3+i/3 a appartenant a R.
Ton erreur tient a ta mauvaise idée de dire que le total est réel si le numérateur est réel; il n'y a pas de telle propriété

2) l'ensemble E2 des points M tel que |z'|=2

Pareil.
Trouvons z' sous une forme plus appropriée, d'abord.
z' = (z-1+i)/(3-iz)
= (z-1+i)(3+iz)/(10)
Soit z=a+ib
= (a+ib-1+i)(3+ia-b)/10
= (3a+a^2i-ab+3ib-ab-ib^2-3-3ia+b+3i-a-ib)/10
= ((3a-ab-ab-3+b-a)+i(a^2+3b+b^2-3a+3-b))/10
= ((3a-2ab+b-a-3)+i(a^2+b^2-3a+3b+3-b))/10
ssi (j'ai sorti le /10 de toutes les coordonnées).
Tu peux résoudre ca... Il doit y avoir une méthode plus simple, cependant.

[Flodelarab]

1) non seulement c léger mais si tu replaces le M que tu me cites dans la formule, je ne trouve pas un réel du tout ......

Moi, j'aurais plutot dit qu'un réel est un complexe dont la partie imaginaire est nulle ......
sépare donc partie réel et partie imaginaire dans Z' (en multipliant le dénominateur par le conjugué par exemple...)


ok?

[Mr Eko]

Je vous remercie pour vos réponses

E2 est maintenant plus clair pour moi
mais E1 reste obscur...

[Sa Majesté]

D'abord l'équation existe seulement si 3-iz différent de 0, soit z différent de -3i
Soit A le point d'affixe -3i

Ensuite comme l'a dit Flodelarab z' est réel ssi sa partie imaginaire est nulle
z' = (z-1+i)/(3-iz)
avec z = x + iy
z' = [(x-1) + i(y+1)] / [(y+3) - ix]
En multipliant par le conjugué du dénominateur, la partie imaginaire de z' est, après simplification :
[x(x-1) + (y+1)(y+3)] / [(y+3)² + x²]
Elle est nulle ssi
x(x-1) + (y+1)(y+3) = 0
(x-1/2)² + (y+2)² = 5/4
Soit C le cercle de centre (1/2 , -2) et de rayon racine(5)/2
Le point A appartient à C
E1=C-{A}