1S Lieux et barycentre

[Jessica54]

Bonjour à tous !
J’aurai besoin de votre aide pour un exercice « Lieux et barycentres » pour mon dm de maths dont voici l’enoncé…


Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
Ce sont des vecteurs mêmes si je ne les marque pas.

1. A et B sont deux points distincts du plan.
a. Construire le barycentre C de (A,2) et (B,3).
b. Construire le barycentre D de (A,3) et (B,2).
c. Démontrer que les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.
d. Pour tout point M, exprimer 2MA+3MB en fonction de MC et 3MA+2MB en fonction de MD.
e. Quel est l’ensemble E1 des points M du plan tels que les vecteurs 2MA+3MB et 3MA+2MB aient la même longueur, c’est-à-dire ||2MA+3MB|| = ||3MA+2MB|| ?
2. A et B sont deux points du plan tels que AB = 4.
a. Construire le point E barycentre de (A,1) et (B,3).
b. Pour tout point M, exprimer MA+3MB en fonction de ME.
c. Quel est l’ensemble E2 des points M du plan tels que le vecteur MA+3MB ait pour longueur 12, c’est-à-dire ||MA+3MB|| = 12 ?
3. ABC est un triangle.
a. Construire le barycentre G de (A,3) et (B,5).
b. Quel est l’ensemble E3 des points M du plan tels que les vecteurs 3MA+5MB et BC soient colinéaires ?


Voilà ce que j'ai réussi à faire :

1. a. C est le barycentre de (A,2) et (B,3).
AC=3/5AB
b. D est le barycentre de (A,3) et (B,2).
AD=2/5AB
c. je sais pas
d. Soit M un point du plan
2MA+3MB=(alpha + bêta)MC=5MC
3MA+2MB=(alpha + bêta)MD=5MD
e. E1 {M/||2MA+3MB||=||3MA+2MB||}
Soit M un point du plan
||2MA+3MB||=||3MA+2MB||
||5MC||=||5MD||
5MC=5MD
MC=MD
M est équidistant à C et D.
Donc E1 est la médiatrice de [CD].

2. a. E est le barycentre de (A,1) et (B,3)
AE=3/4AB
b. Soit M unpoint du plan
MA+3MB=(alpha + bêta)ME=4ME
c. E2 {M/||MA+3MB||=12}
Soit M un point du plan
||MA+3MB||=12
||4ME||=12
4ME=12
ME=4/12
ME=1/3
Donc E2 est 1/3.

3. a. G est le barycentre de (A,3) et (B,5)
AG=5/8AB
b. E3 {M/3MA+5MB et BC sont colinéaires}
Soit M un point du plan
3MA+5MB et BC sont colinéaires.
3MA+5MB=8AB
Donc 8AB et BC sont colinéaires.
AB et BC sont colinéaires.
M est sur la droite (BC).
Donc E3 est la droite (BC).

[Sphinx]

Resalut!
C'est marrant les barycentres!!!
1c)Exprime les milieux de [AB] et [CD] en termes de barycentres.
2c)Attention!Tu fais une erreur en disant que E2=1/3.C'est un ensemble,pas un nombre.C'est l'ensemble des points M tels que ME=1/3.Ca porte un nom plus simple.Le trouveras-tu toute seule?
3b)Tu fais erreur en disant que 3MA+5MB=8AB
3MA+5MB=8MG
A toi de continuer.
Je ne m'inquiète pas pour toi:visiblement tu as bien assimilé les barycentres.
Ciao et bonne continuation!

[Jessica54]

Merci encore pour ton aide Sphinx! Peux-tu me corriger ceci...

1. c) Je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire quand tu me dis d'exprimer [AB] et [CD] en termes de barycentres.
2. c) Donc E2 est le cercle de centre E et de rayon 1/3
3. b) E3 {M/3MA+5MB et BC sont colinéaires}
Soit M un point du plan
3MA+5MB et BC sont colinéaires.
3MA+5MB=8MG
Donc 8MG et BC sont colinéaires.
MG et BC sont colinéaires.
M est sur la droite (BC).
Donc E3 est la droite (BC).

[bernie]

Bonjour,

tu écris :

1. c) Je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire quand tu me dis d'exprimer les milieux de [AB] et [CD] en termes de barycentres.


Soit M milieu de [AB], on a :

M bary de (A;1) et (B;1) car MA+MB=0

que l'on peit écrire :

MD+DA+MC+CB=0

mais DA=(-2/5)AB et CB=(2/5)AB

donc MD+MC=0

qui prouve que M est milieu de [CD].

Note que comme M est le milieu de [AB] on peut écrire tout de suite :

MA+MB=0 sans parler de barycentre.

A+

[bernie]

Dans le 2) c) tu écris :

Soit M un point du plan
||MA+3MB||=12
||4ME||=12
4ME=12
ME=4/12--->ce n'est pas plutôt ME=12/4=3

Donc E2 est le cercle de centre E et de rayon 3?

[bernie]

OK pour le 3b)
A+

[Jessica54]

Euh oui pour le 2. c) je suis impardonnable. quelle étourdie je suis!
||4ME||=12
4ME=12
ME=12/4
ME=3
E2 est le cercle de centre E et de rayon 3

Par contre je ne comprends pas le 1. c) ...
Merci Bernie!

[Sphinx]

Désolé Jessica pour l'erreur que je n'avais pas vue(3 et non 1/3)
Je répondrai ce soir au 1c) car je suis pressé.

[Jessica54]

C'est pas grave! Je te remercie sphinx.

[Sphinx]

Pour le 1c),il a été résolu par Bernie,mais j'avais une autre méthode.
En fait,si I est le milieu de [CD],alors il est le barycentre de (C,1) et (D,1) ou plutôt de (C,5) et (D,5).Donc de (A,2),(B,3) et (A,3),(B,2).Donc de (A,5) et (B,5) ou plutôt de (A,1) et (B,1).Il est donc aussi le milieu de [AB]!
Voilà,c'est tout.
Ciao!

[Jessica54]

Ah ok! Je te remercie beaucoup sphinx pour tout l'aide que tu m'as apporté... Bonne continuation.