1S lieu géometrique et produit scalaire

[zilalo]

Bonjour,

J'ai un DM sur lequel je bloque.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; u ; v) on considère les points A(2 ;0) et B(6;0) et la droite (d) d'équation y = 4. Pour tout point C de (d), on appelle H l'orthocentre du triangle ABC.

Le but de cet exercice est de déterminer le lieu de H lorsque C décrit la droite (d).

On note a l'abscisse du point C.
1) Quel est l'abscisse de H ?
2) Que vaut AH.BC ? Justifier la réponse.
3) On note yH l'ordonnée de H. En calculant AH.BC autrement, exprimer yH en fonction de a.
4) En déduire une équation de la courbe P à laquelle H appartient. H décrit-il toute la courbe P lorsque C décrit toute la droite (d) ? Pourquoi ?


Mes réponses :
1) Si C à pour abscisse a alors H à pour abscisse également a car AH est la hauteur du triangle ACB.
Je sais pas si sa suffit comme justificatif ??

2)H est l'orthocentre de ABC donc AH est une hauteur du triangle ABC ce qui fait que AH et BC sont perpendiculaire donc les vecteurs AH et BC sont orthogonaux.
--> AH.BC = 0

Pour la 3 et 4 je n'y arrive pas.

Pouvez-vous me dire si mes réponses sont correct et me mettre sur la piste pour la question 3 et 4.


Merci d'avance

[remullen2000]

la reponse 2 est correcte..
La réponse 1, j'écrirai plutôt que :

(CH) est perpendiculaire a (AB) et donc a l axe des abcisses.L'equation de la droite CH est donc de la forme x=m Or C est sur (CH) et C=(a,4) donc au final l'equation de (CH) est x=4, maintenant comme H est sur (CH) H verifie son equation, d ou H=(a,yH).

Pour la question 3 il faut utiliser la formule du produit scalaire de deux vecteurs u.v=xx'+yy', si u=(x,x') et v=(y,y') (ici u=AH v=BC)

Pour la question 4 il faut remarquer que H verifit l'equation d'un polynome du second degré,donc du type:

y=cx^2+bx+d c b et d sont des réels

Bonne chance

[zilalo]

Ok merci, je note pour la question 1, merci

Pour la question 3, j'ai essayer de faire ca mais je suis bloqué :

u.v=xx'+yy'

A(2,0)
B(6,0)
C(a,4)
H(a,yH)

AH (a-2,yH)
BC (a-6,4)

AH.BC = (a-2)*(a-6) + (yH*4)
= a²-6a-2a-12+4yH
= a²-8a-12+4yH

Mais je fais quoi avec ça ?? :marteau:

Pour la 4) je ne comprend toujours pas.

Merci d'avance

[remullen2000]

AH.BC=0

et AH.BC=a²-8a-12+4yH

donc a²-8a-12+4yh=0 donc yh =.......en fonction de a.


or a=xH donc H verifie l'equation suivante

Yh=(-xh²+8xh+12)/4

c est a dire l equation y=(-x²+8x+12)/4 polynome du second degré.

pour voir si lorsque C decrit d, Hdecrit P,il suffit de prend un point quelconque sur P (appelons le M)

comme M est sur P il verifit l equation de P donc

yM=(-xM²+8xM+12)/4

Il faut alors montrer que ce point M est bien l'orthocentre de ABC pour un certain C...

Or c'est le cas car M est bien l hortocentre de A B et C=(xM,4)
Cette question est un peu dur a pigé!
bonne chance