Lieu géométrique du milieu de 2 points d'intersect. entre une droite et une parabole

[Vengeur41]

Salut,
Alors j'ai un DM pour la rentrée et j'ai planché 1/2h sur cet exercice sans réussir à trouver. Ca m'embête un peu de poster ici car j'ai l'impression qq part de pas faire bien mon boulot mais bon, j'ai trouvé facilement tous les autres exos du DM (pas forcément bien simples) mais là je coince. Donc :

On a une parabole P d'équation y = x².
On a aussi une droite D d'équation y = cx+1
(le coefficient directeur c est constant).
On a démontré que quelque soit le nombre m, P et D possèdent toujours 2 points d'intersection m et n.
On nous demande alors quel est le lieu géométrique de i, milieu de [mn].

On a Xi = (Xn+Xm)/2 et
Yi = 1/2c(Xn+Xm)+1

On est censés, selon la méthode qu'on emploie tjrs dans un exercice de ce type, exprimer Yi en fonction de Xi sans faire apparaitre c , ce qui nous donne l'équation d'une courbe puis montrer que lorsque m parcourt l'ensemble des réels, alors Xi aussi et Yi parcourt cette courbe ci.
L'exercice etant sympa, pour nous guider on nous demande de démontrer que
Yi = 2x²+1...
Je trouve pas vraiment.
Quoique au fur et a mesure que je tape mon problème une solution lointaine se dessine devant mes yeux :zen:

Enfin bref, merci d'avance de votre aide !

++
Vengeur41

P.S. : Je suis en 1ère S.

[flaja]

bonsoir,
quand tu calcules l'intersection, tu as une équation du 2ème degré en x
et tu as besoin de (xn+xm) = la somme des racines
x^2 - S x + P = 0

[Vengeur41]

Euh... merci mais c'est pas vraiment ce que je cherche :triste:

[Imod]

Les points d'intersections ont pour coordonnées avec donc alors l'abscisse du milieu est c/2 et l'ordonnée du milieu est donnée par . Je te laisse finir .

Imod

[Vengeur41]

J'ai peut-etre mal expliqué ce qu'il me fallait :

Il faut que j'exprime Yi en fonction de Xi sans que le c apparaisse...
J'ai oublié, je ne dois pas résoudre l'équation x²-mx-1=0 qui correspond aux points d'intersections, il faut juste que je m'en serve pour démontrer qu'il y'a toujours 2 points d'intersection (discriminant positif).

[Imod]

Je te signale que je n'ai pas résolu l'équation , je ne connais pas les valeurs de (x1,y1) et (x2,y2) par contre le milieu I a pour coordonnées I(c/2;(c^2+2)/2) . A partir de là tu dois pouvoir trouver tout seul le lieu décrit par I .

Imod

[Vengeur41]

Bon de toute facon j'ai trouvé.
J'écris la réponse :

On cherche les points d'intersection de P et de D :
On résoud donc l'équation :
x² = cx+1
x² - cx - 1 = 0

le discriminant Delta = c²+4 est positif pour tout réel c donc il y'a tjrs 2
points d'intersections m et n entre les droites.
Leur abscisses sont :

Xn = (c+racine(c²+4))/2 et
Xm = (c-racine(c²+4))/2.

On calcule l'abscisse de I milieu du segment [nm] :

Xi = (Xn+Xm)/2

Après calcul :

Xi=c/2

Yi = 1/2c(Xn+Xm)+1

or c=2Xi

Donc

Yi = 2Xi²+1

I appartient donc à cette parabole E d'équation Y = 2X²+1

Lorsque c décrit R, c/2 décrit cet ensemble.
Lorsque Xi (=C/2) décrit cet ensemble. Yi appartient tjrs à cette parabole.
Donc E est le lieu géométrique de I.


S'il y'a des problèmes de rédac corrigez moi !

Merci !