Lieu géométrique dans les complexes

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 21:03

Bonjour à tous, j'ai vraiment besoin d'aide sur ce coup là car je rame et je n'en peux plus ...
Alors voilà l'énoncé de mon exo :
Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct de centre O. Le point M est variable sur [BC], N est l'image de M par la rotation de centre A et d'angle pi/2.
I est le milieu de [MN]. On se propose de trouver le lieu de I lorsque M décrit [BC]. On note a la longueur de a demi-diagonale du carré ABCD. On choisit le repère (O;;) orthonormal direct tel que vecteur OC = a et vecteur OD = a
On pose vecteur BM = t vecteur BC avec t réel dans [0;1]

1)a) Exprimez les affixes z[/sub]M et z[sub]N de M et N en fonction de a et t.
Alors tout d'abord j'ai réalisé une figure avec géoplan pour avoir une idée de la réponse que j'ai trouvé mais je n'arrive absolument pas à faire les questions en rapport avec l'exo.
Pour l'affixe de M j'ai mis : a + (1-t)i
Pour l'affixe de N j'ai mis : (1-t) + ia
Mais alors je ne suis pas sûre du tout ...
Ensuite ...
1)b) Vérifier que les points C,D et N sont alignés. Pour cela je pars du principe qu'il faut que les vecteur CD et DN soient colinéaires et donc que DN = kCD (les vecteurs DN et CD bien sûr ...). Je pense qu'il faut trouver que vecteur DN = t fois le vecteur CD d'après ma conjecture graphique mais là encore, impossible de le montrer ...

2)a) Calculer l'affixe de I
Pour cela il faudrait que j'ai les affixes de M et N. D'après la conjecture I se déplace sur le demi axe OD, et donc il faut que la partie réel de I soit nulle mais je n'arrive toujours pas à le démontrer même en prenant le problème à l'envers.

enfin b) Déduisez-en le lieu du point I. Si seulement je le pouvais ... C'est très frustrant d'avoir la réponse graphique et juste puisqu'il s'agit d'un TD fait en cours, mais de ne pas réussir à le démontrer mathématiquement ...

J'espère que ceux qui prendront le temps de me lire m'aideront ... Merci d'avance et à bientôt !

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 21:37

Le repère n'est pas clair !

par **Sa Majesté** » 25 Oct 2008, 21:38

Elo63 a écrit:Pour l'affixe de M j'ai mis : a + (1-t)i
Pour l'affixe de N j'ai mis : (1-t) + ia
Mais alors je ne suis pas sûre du tout ...

Tes conjectures et ton raisonnement sont bons
Mais tes calculs sont faux dès le départ
Pour trouver zM, tu peux partir de la relation vectorielle BM = t BC
Il ne reste plus qu'à la traduire en complexes

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 21:38

OC = a et OD = ai ?

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 21:50

oui c'est ça le repère désolée si ce n'était pas clair.
En partant de la relation avec BM et BC je trouve affixe de M = ta+i(ta-a) mais je n'arrive pas à trouver l'affixe de N ...
Merci pour votre aide.
Pensez-vous que je sois sur la bonne voie ?

par **Sa Majesté** » 25 Oct 2008, 21:52

Oui tu es sur la bonne voie
Pour trouver l'affixe de N, il faut partir de sa définition et la traduire en complexes (tjs le même principe ...)

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 21:58

Merci beaucoup votre majesté !
Seulement j'ai un petit souci, c'est que dans notre cours nous n'avons pas encore vu les rotations et je ne vois pas tellement comment je peux trouver l'affixe du point N. On m'a conseillé d'utiliser cette formule : zN-zA= i(zM-zA) mais je ne comprends pas très bien pourquoi ...

par **Sa Majesté** » 25 Oct 2008, 22:01

Oui il faut bien prendre cette formule !
Explication :
(zN-zA) / (zM-zA) = i
Si tu prends les modules => AN = AM
Si tu prends les arguments => (AM,AN)=pi/2 (2pi)
Ce qui montre que N est l'image de M par la rotation de centre A et d'angle pi/2

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 22:11

Ahh ! Quand c'est expliqué ça va déjà mieux !
Alors avec cette fameuse formule je trouve l'affixe de N = -ta+2a + i(ta+a). Pensez vous que cela soit juste ?
Merci beaucoup ...

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 22:16

Une vérification

calcule zN - zC
et zC - zD
si N, C et D sont alignés , que doit on avoir ?

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 22:19

Il faut que les vecteurs soient colinéaires, non ?

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 22:27

il faut effectivement qu'ils le soient
dans les complexes, il faut que zN-zD = k (zD-zC) par exemple

tu verras que tu as fait une erreur

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 22:31

Oui je le vois bien mais je le remarque en calculant l'affixe de I mais pas en cherchant si les points sont alignés. Normalement je dois trouver t mais il est évident que je n'y suis pas du tout ... Cela devient assez frustrant ... Je pense avoir inversé les parties réelles et les parties imaginaires ... Pouvez-vous seulement me dire si l'affixe de M est juste ?
Merci beaucoup.

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 22:33

As tu fait un schéma ?

en plaçant les points A, B , C et D
et en faisant une rotation de centre A et d'angle pi/2

quelle est l'image de B
et l'image de la droite BC ?
et donc l'image de M ?

tu verras à quoi doit être égal zN

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 22:35

l'affixe de M est juste

A a pour affixe -a

donc ta relation sera (zN + a ) = i ( zM +a )

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 22:36

Je crois avoir vu mon erreur et je trouve zN = -ta + i(ta+a),ce qui semble plus cohérent ... Qu'en pensez-vous ?

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 22:38

pas mal !!!

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 22:41

Oui je suis d'accord et oui j'ai fait un schéma à l'aide du logiciel géoplan (ce qui m'a quand même beaucoup aidé) mais en fait laissez moi vous dire que si je rame autant c'est parce qu'en cours nous n'avons pas encore vu les rotations d'où la difficulté. Mais là je vois que tout s'éclaire grâce à vous ! Merci
Pour répondre à votre question l'image de B c'est D, l'image de la doite BC je pense qu'il s'agit de CD mais je n'en suis pas certaine, et enfin l'image de M c'est N qui appartient à la droite CD.

par **Huppasacee** » 25 Oct 2008, 22:47

c'est cela , puisque une droite et son image forment un angle égal à l'angle de rotation , et on connaît un point de la droite image

et on sait que BM = DN ( en norme ) puisqu'on a une rotation

donc pour résumer, une rotation de centre W (w) et d'angle

se traduit par

(z ' - w ) = (

) ( z - w)

par **Elo63** » 25 Oct 2008, 22:55

Merci énormément pout toutes ces explications qui vont bien m'aider ! Avec les affixes de M et N je parviens à trouver que vect(DN) = t.vect(CD) et je trouve aussi l'affixe de I qui serait i*ta si je ne me suis pas trompée. Ensuite il suffit d'en déduire le lieu de I et il s'agit du demi axe OD comme le montre l'affixe de I.
Qu'en pensez vous ? Je pense que je suis presque venue à bout du problème (enfin, je suis dessus depuis hier soir et je commençais à désespérer ... lol).
En tout cas, merci encore pour m'avoir consacré du temps et m'avoir fait partager vos connaissances ! :we:

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