Lever une indétermination

par **axiome** » 29 Juil 2006, 21:14

Bonjour,
Aujourd'hui je me suis remis aux calculs de limites ( La rouille, ça vient vite) et il y a une indétermination que je n'arrive pas à lever :

lim (sin x)/ (x)
x tend vers 0

Merci d'avance pour vos réponses.

par **quinto** » 29 Juil 2006, 21:31

Bonjour,
pense au nombre dérivé.
a+

par **axiome** » 29 Juil 2006, 21:53

Bonsoir quinto, j'avais déjà essayé de faire comme tu le dis.
J'ai essayé avec :
lim [f(a+h)-f(a)]/ (h)
h tend vers 0

Mais, à moins que je me sois trompé, ça ne donne pas grand chose.

par **quinto** » 29 Juil 2006, 21:57

Tu connais sin'(0) ?

par **Nightmare** » 29 Juil 2006, 21:57

Bonjour

Tu ne reconnais rien ?

:happy3:

par **Sdec25** » 29 Juil 2006, 22:14

On peut aussi utiliser la règle de L'Hospital ou les équivalents.

par **axiome** » 29 Juil 2006, 22:16

Ah oui d'accord, vous parlez de :

lim [f(x) - f(a)]/(x-a) ?
x tend vers a

C'est la même chose que :

lim [f(a+h)-f(a)]/ (h) pour h= x-a
h tend vers 0

J'avais complètement oublié cela.
donc normalement, je trouve 1 en résultat final.

J'espère que c'est la bonne réponse... Merci pour votre aide.

par **Nightmare** » 29 Juil 2006, 23:28

Ta réponse est la bonne :happy3:

Sdec25c : Avec un bazooka on peut tuer un pigeon, mais on peut aussi le faire avec un simple fusil :lol3:

par **Sdec25** » 29 Juil 2006, 23:36

C'est sûr que calculer x/x pour trouver la limite c'est très compliqué, ça m'a pris beaucoup de temps :happy3:

par **Nightmare** » 29 Juil 2006, 23:53

Ce n'est pas ce que je veux dire, la notion de nombre dérivé est de niveau 1ére, celles du théorème de l'hospital et d'équivalent de niveau supérieur. Pourquoi compliquer les choses ? D'autant plus que théorème de L'hospital vient directement de la notion de nombre dérivé et que pour démontrer que sin(x) et x sont équivalents, à part par une méthode géométrique, on démontre bien que sin(x)/x converge vers 1 en 0, c'est donc un cercle vicieux.

:happy3:

par **haydenstrauss** » 30 Juil 2006, 07:25

ça fait plusieur fois que j'entend parler du theoreme de l'Hospital qq peut l'énnoncer et donner un exemple ?

merci

par **Nightmare** » 30 Juil 2006, 11:48

Bonjour

Tu peux regarder ici

par **nada-top** » 30 Juil 2006, 12:20

Ce n'est pas ce que je veux dire, la notion de nombre dérivé est de niveau 1ére, [FONT=Comic Sans MS]celles du théorème de l'hospital [/FONT] et d'équivalent [FONT=Comic Sans MS]de niveau supérieur[/FONT].

ça se voit bien avant je crois ...je l'ai vu en fait en première :hein:

par **Nightmare** » 30 Juil 2006, 12:34

Peut être que certains profs l'enseignent, il est vrai qu'elle n'est pas de nature difficile à comprendre, mais elle n'est tout de même pas au BO.

:happy3:

par **Sdec25** » 30 Juil 2006, 13:42

Ok c'est vrai qu'en première on n'est pas censé connaître les équivalents, donc faire apparaître une dérivée est la méthode la plus "directe" pour lever l'indétermination. :happy3:

Mais si on regarde bien toutes les méthodes sont équivalentes. Pour dire que sin x équivaut à x on peut dire que x est l'équation de la tangente à sin x en 0 (c'est niveau première).

Si f(0)=0 et g(0)=0 alors les équation des tangentes sont f'(0)x et g'(0)x et

(règle de L'Hospital).

Avec les DL f(x) = à f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2 + ... ce qui donne la même chose mais permet d'aller plus loin si on en a besoin.

Donc toutes les méthodes sont équivalentes, mais c'est vrai qu'en première on ne maîtrise pas bien (ou pas du tout) les équivalents donc on fait avec les moyens du bord :++:

par **Nightmare** » 30 Juil 2006, 18:48

Encore une fois la règle de l'hospital ne résoud rien ...

Pour utiliser la règle de l'hospital il faut dériver sin, on sait tous que sin'=cos, mais pour démontrer cette formule il faut démontrer que sin(x)/x converge vers 1 en 0, donc on tourne en rond. Une vraie démonstration de cette limite est de démontrer géométriquement que x/sin(x) est encadré par 1 et 1/cos(x) qui convergent tous les deux vers 1.

par **haydenstrauss** » 30 Juil 2006, 19:25

deja le regle de lhospital n'est pas connue au lycée...

Ensuite

le theoreme de tailor young est encore moimn connue

la methode ici c'est de lire son cour. C'est une limite connue du cour meme pas besoin de demontrer quand on s'en sert (sauf si c'est demandé) la méthode est (comme énnoncé plus haut):

par **Sdec25** » 30 Juil 2006, 19:40

la methode ici c'est de lire son cour. C'est une limite connue du cour meme pas besoin de demontrer quand on s'en sert (sauf si c'est demandé) la méthode est (comme énnoncé plus haut):

On peut aussi dire que sin x équivaut à x (tangente en 0 de sin) en 0 en regardant son cours, c'est à dire sin x / x tend vers 1 (qui est aussi dans le cours normalement), c'est encore plus simple.

Mais pour calculer la dérivée de sin et cos il faut connaître la limite sin x / x donc on tourne en rond comme l'a si bien expliqué Nightmare :++:
Pour calculer la dérivée de sin il faut savoir que cette limite vaut 1 donc on peut l'admettre au lieu de la démontrer.
La seule méthode ne reposant pas sur la dérivée de sin est donc celle qu'il a donnée un peu plus haut.

Par contre pour des limites telles que

on peut très bien transformer en dérivée puisqu'on ne se sert pas de cette limite pour trouver la fonction dérivée.

par **quinto** » 30 Juil 2006, 19:56

Sdec25 a écrit:Mais pour calculer la dérivée de sin et cos il faut connaître la limite sin x / x donc on tourne en rond comme l'a si bien expliqué Nightmare :++:
Pour calculer la dérivée de sin il faut savoir que cette limite vaut 1 donc on peut l'admettre au lieu de la démontrer.

En faisant ca tu tournes en rond.
Une méthode géométrique permet de remédier au problème.
Sinon si tu supposes connu le développement en série de sin (non faisable à ce niveau), tu peux t'en tirer également en passant pas la dérivée, sans connaître a priori cette limite.

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