Les Vecteurs 2° :)

[Mathieu13]

Bonjour, je suis en seconde, je suis en pleins chapitre sur les vecteurs. J'ai un exercice à faire mais je rencontres certains problèmes. Je viens donc solliciter votre aide. Voila l'exercice : A,B, C, D et E sont des points du plan, Démontrer que :
a)
b)
c)

Nous avons déjà vue en cours :
- La relation de Chasles :
- Règle du parallélogramme :

Je ne sais comment gérer les 3 Vecteurs en même temps et les moins.
Je vous remerci d'avance, Mathieu.

[Lostounet]

Bonsoir Mathieu,

Comment gérer ces vecteurs? Tu te doutes bien qu'il faut utiliser la relation de Chasles, c'est une bonne idée.

Réfléchissons.. on voit le vecteur AE à droite... mais pas à gauche du signe =.
On va donc forcer le destin, et faire apparaitre le point E!

Par exemple AB = AE+EB (tout des vecteurs mais je suis au supermarché).

Mais aussi DB=DE+EB
Donc -DB = -DE-EB
Vois-tu la stratégie?

[bolza]

Bonjour,

Pour pouvoir utilisé la règle du parallélogramme, il faut que les points en question soient les sommets
d'un parallélogramme, Or ici rien ne permet de l'affirmer.

Ici la relation de Chasles suffit :

Tu peux déjà commencer par supprimer les "-" (par exemple en remplaçant -AB par BA par exemple).
Ensuite tu cherches les paires de vecteurs sur lesquels tu peux appliquer la relation de Chalses, jusqu'à ce que tu arrives au résultat voulu.

[Mathieu13]

ha oui je vois :
mais si je met: -AE= -AB+DB-DE
Il me reste toujours des moins...

[bolza]

Non,

Il ne faut pas multiplier l'égalité par -1, mais juste inverser les lettres des vecteurs devant lesquels il y a le signe '-'.
Car pour tout point A et B on a: AB = -BA.

[Mathieu13]

Bonjour,

Pour pouvoir utilisé la règle du parallélogramme, il faut que les points en question soient les sommets
d'un parallélogramme, Or ici rien ne permet de l'affirmer.

Ici la relation de Chasles suffit :

Tu peux déjà commencer par supprimer les "-" (par exemple en remplaçant -AB par BA par exemple).
Ensuite tu cherches les paires de vecteurs sur lesquels tu peux appliquer la relation de Chalses, jusqu'à ce que tu arrives au résultat voulu.

Bonsoir, merci de votre intervention :
Donc si j'ai : AB - DB + DE = AE
cela me donne : AB + BD +DE = AE
Je vois tout de suite l'utilité de la relation de Chasles, mais comment présenté ?

"Si : AB - DB + DE = AE, alors : AB + BD +DE = AE. D'après la relation de Chasles, l'égalité est confirmé"
Cela suffie ?

[bolza]

Tu peux faire par étape :

AB-DB+DE=AB+BD+DE=AD+DE=AE.

edit : ici la relation de Chasles a été utilisée deux fois.

[Lostounet]

Non,

Il ne faut pas multiplier l'égalité par -1, mais juste inverser les lettres des vecteurs devant lesquels il y a le signe '-'..

Ce qui revient exactement à multiplier par (-1) la relation vectorielle.
On a tout à fait le droit de multiplier une égalité vectorielle par un scalaire non nul.

[Mathieu13]

ha oui je vois, merci beaucoup

[Mathieu13]

Non,

Il ne faut pas multiplier l'égalité par -1, mais juste inverser les lettres des vecteurs devant lesquels il y a le signe '-'..

Ce qui revient exactement à multiplier par (-1) la relation vectorielle.
On a tout à fait le droit de multiplier une égalité vectorielle par un scalaire non nul.

ne m'en voulez pas, mais j'ai du mal à suivre...

[bolza]

Non,

Il ne faut pas multiplier l'égalité par -1, mais juste inverser les lettres des vecteurs devant lesquels il y a le signe '-'..

Ce qui revient exactement à multiplier par (-1) la relation vectorielle.

Non, si on multiplie par -1 on change le signe de tous les vecteurs, alors que il s'agissait seulement de se débarrasser des signes "-".

Par exemple passer de AB-CD=EF à AB+DC=EF, on a fait disparaître le signe "-", mais c'est différent que de passer à -AB+CD=-EF. (Mais c'est tout à fait légitime bien sûr )

[Mathieu13]

j'ai une nouvelle question...
Es que : AF + BA = BA + AF ?

[Lostounet]

Oui bien sûr.

[Lostounet]

a) .

Bon après toutes les méthodes se valent du moment qu'on reste cohérent.

Voici ce que je te propose:

.
(Par la relation de Chasles)

En distribuant le - (a + b) = -a - b:

[Mathieu13]

ha oui, c'est une super méthode, merci infiniment pout votre aide.

[Mathieu13]

J'ai une autre question :

Pourriez vous m'explique que : ?
Plus présisément pourquoi :

[bolza]

Bah BB est un vecteur qui relie le point B à lui-même ^^
Autrement dit c'est un vecteur réduit à un point, et donc le vecteur nul

[Mathieu13]

d'accord, merci beaucoup.

[Mathieu13]

Bonjour, je continue mon chapitre sur les vecteurs ^^, une nouvelle question traverse mon esprit :
Ma question peut paraître bête mais je sais pas si on peut suprimer d'une présentation un vecteur nul ou si il faut le garder (en sachant que je garde )

[bolza]

Pour répondre à ces question simples, tu peux faire un petit calcul rapide à partir de quelques résultats simples :

résultat 1: quel sont les coordonnées du vecteur nul ?
réponse : on a 0= (0,0) (ici je donne un exemple dans le plan).

résultat 2 : Si on a A a pour coordonnées (a1,a2) et B a pour coordonnées (b1,b2), alors quels sont les coordonnées du vecteur AB ?

réponse : les coordonnées du vecteur AB sont : (b1-a1,b2-a2).

résultar 3 : Si les coordonnées de AB sont (x,y) et les coordonnées de CD sont (w,z) alors quels sont les coordonnées de AB+CD ?
réponse : les coordonnées de AB+CD sont (x+w,y+z).

Donc maintenant BB= 0 ? bah oui, car les coordonnées de BB sont (b1-b1,b2-b2)=(0,0)=0
pour la suite on va posé x=b1-a1 et y=b2-a2, les coordonnées de AB sont donc (x,y).
0+AB=AB ? bah oui : car 0+AB=(0,0)+(x,y)=(0+x,0+y)=(x,y)=AB.

et comme ça tu peux montrer (ou vérifié) plein de propriétés sur les vecteurs comme :
AB+CD=CD+AB
(AB+CD)+EF=AB+(CD+EF)
la relation de Chasles, etc...