Les trois cercles

[nabilzer]

bonjour !

soit (c1),(c2) et (c3) trois cercles de rayon respectivement r1,r2 et r3 et (d) tangent à ces cercles .


prouvez que r1 = r2 + r3 .

Aidez moi plz .

[mathafou]

soit (c1),(c2) et (c3) trois cercles de rayon respectivement r1,r2 et r3 et (d) tangent à ces cercles .
prouvez que r1 = r2 + r3 .

Bonjour,

comme c'est faux ...
preuve :
cette relation doit être valable quels que soient les rayons.
il est trivial que si r1 = r2 (deux cercles (c1) et (c2) égaux) le troisième n'aura pas un rayon nul !!


en vrai on a

simples Pythagore sur des triangles rectangles bien choisis, et AB = AC + BC

l'un de ces triangles rectangles est suggéré sur la figure : d'hypoténuse
il permet d'exprimer AB en fonction de et
en exprimant de même AC en fonction de er et BC en fonction de et on obtient la relation cherchée.

tout diviser par au final

en écrivant la relation semblable si C est en dehors de [AB] on obtient le rayon du "grand" troisième cercle r'3 :

[nabilzer]

mais moi je veux démontrer que r1 = r2 + r3 . en plus sur quel triangles rectangles parle-tu ?

[mathafou]

mais moi je veux démontrer que r1 = r2 + r3 . en plus sur quel triangles rectangles parle-tu ?

tu ne pourras pas, c'est faux. je t'ai prouvé pourquoi c'est faux. têtu ??

Je parle de ce triangle là (j'ai renommé les points pour éviter de se trainer des indices partout)


IJ² = IH² + HJ²
c'est à dire (r1+r2)² = (r1-r2)² + AB²
et donc AB en fonction de r1 et r2 comme annoncé etc ...

[Ben314]

Tu as lu ce qu'a écrit mathafou ?

...
comme c'est faux ...

donc soit tu t'est gourré en lisant l'énoncé, soit l'endroit d'où tu tire l'exo. est "peu fiable" (sic), soit il y a des hypothèses supplémentaire indispensables à la résolution du problème...

[nabilzer]

cet exercice est tiré d'olympiade de math , c'est pour ça que je suis sur que l'énoncé est juste .

et mathafou dit "il est trivial que si r1 = r2 (deux cercles (c1) et (c2) égaux) le troisième n'aura pas un rayon nul !

les rayons sont différents.
alors il y a des hypothèses supplémentaire indispensables à la résolution du problème.

[Ben314]

Moi, je suis comme mathafou : texto, je suis sûr qu'il est... faux...

...les rayons sont différents...

ça change absolument rien à la remarque de mathafou : tu as qu'à la remplacer par "si r1 et r2 sont quasi égaux, il est trivial que r3 ne sera pas quasi nul" pour voir que ça déconne complet.

[mathafou]

Moi, je suis comme mathafou : texto, je suis sûr qu'il est... faux...

ça change absolument rien à la remarque de mathafou : tu as qu'à la remplacer par "si r1 et r2 sont quasi égaux, il est trivial que r3 ne sera pas quasi nul" pour voir que ça déconne complet.

ou que si r2 est trés inférieur à r1, alors r3 sera encore plus petit que r2 et la somme r2 + r3 ne peut pas faire r1
etc etc

en fait le seul et unique cas où on a r1 = r2 + r3 est lorsque ces rayons sont exactement dans un et un seul rapport très précis
c'est à dire lorsque r2/r1 = 0.78 et quelques, solution d'une affreuse équation de degré trop élevé pour la résoudre exactement
Xcas me donne 0.78004843287...
peut être la question est elle réellement ça d'ailleurs : trouver les rayons pour que r1 = r2 + r3
et pas du tout "démontrer r1 = r2 + r3"

[Ben314]

Sauf erreur, l'équation c'est et les racines (réelles) sont

[chan79]

Xcas me donne 0.78004843287...
"

OK pour cette valeur

[mathafou]

Sauf erreur, l'équation c'est et les racines (réelles) sont

il y a donc erreur car ça ne fait pas 0.78 (qui est en accord parfait avec une valeur "expérimentale")

je trouve l'équation qui est nettement moins sympatique à priori mais dont Xcas, toujours, lui me donne les solutions réelles exactes (réarrangées):

et cette fois on retombe bien sur le
l'autre solution échange r2 et r3 (r2 est le tout petit cercle et c'est r3/r1 = 0.78)
la somme des deux solutions fait évidemment 1 (puisque r2 + r3 = r1 = 1)

[Tiruxa]

Il semble que ce soit un cas particulier du th de Descartes :



Ce th permet de calculer la courbure des cercles en rouges.
La courbure est l'inverse du rayon

Donc dans cet exemple (contrexemple) r1=1/4, r2=1/9 et r3 = 1/25

On n'a donc pas r1=r2+r3.

Figure extraite de : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Descartes

[mathafou]

Il semble que ce soit un cas particulier du th de Descartes

exact.
mais le fait qu'un des 4 cercles de Descartes soit en fait une droite (courbure nulle 1/r = 0) fait que la démonstration directe est ici très accessible, contrairement au théorème de Descartes qui est "un peu plus compliqué" à démontrer.

il peut être intéressant d'ailleurs de chercher une construction purement géométrique (règle et compas) du 4ème cercle (ici le 3ème, avec un des cercles = la droite d)
ce ne semble pas être le but de cet exo de toute façon. il y a déja assez à moudre avec :
- la clarification de l'énoncé
- les "petits" calculs amenant à la mise en équation
- la résolution "à la main" d'une équation du 4ème degré

le fait que le cercle soit constructible fait que les solutions sont constructibles donc l'équation du 4ème degré se ramène exclusivement ici à des équations du second degré en chaine.
(d'ailleurs ça se voit rien qu'à sa tro-ogne, de la solution)
il n'y a pas besoin de passer par une résolvante du 3ème degré.

PS :
noter que "r" dans l'énoncé c'est bien les rayons, pas l'inverse des rayons.
les valeurs affichées sur la figure sont les courbures. d'où le calcul des inverses pour avoir les rayons

[nabilzer]

tu as raison mathafou parce que quand j'ai tracé les cercles dans GeoGebra j'ai remarqué que r1 est different des autres rayons

alors la question c'est : prouvez que

[mathafou]

tu as raison mathafou parce que quand j'ai tracé les cercles dans GeoGebra j'ai remarqué que r1 est different des autres rayons

alors la question c'est : prouvez que

et c'est comme j'ai dit
tu calcules AB en fonction de r1 et r2 par Pythagore, relire les messages précédents, celui de 13h26, c'est tout expliqué.
puis AC en fonction de r1 et r3 (pas besoin de refaire la démo, c'est "on démontre de même que")
puis BC en fonction de r2 et r3 (idem)

puis tu écris AB = AC + BC et tu simplifies.