Les suites numériques: arythmétiques et géométriques ( récurrence)

[stephM]

bonjour à vous tous.
je suis nouvelle ici et jai un gros problème en mathématique. Je suis en terminale scientifique et j'ai un exercice que j'ai vraiment du mal à faire.
Si vous pourriez m'aider se serait vraiment super en plus c'est pour demain...
U0=5
U(n+1)=racine carrée de Un+12

On a démontré que Un est supérieur ou egal à 4
que U(n+1)-4 est inférieur ou egal à 1/8(Un-4)

Maintenant il faut démontrer par récurrence que 0est inférieur à Un-4 inférieur à 1/8²(U0-4) et quelque soit n
Il faut just remplacer le carré par une puissance n (jai pas ces touches sur mon clavier mais si je pouvais les avoir ça ne serait pas de trop...)
Merci d'avance
PS: ça fait quand même une heure que je cherche.

[danskala]

salut stephM,

pour n>1 on a, en vertu de ce qu'on t'a demandé de montrer précédemment:
(*)

En remplaçant n par (n-1) dans la double inégalité (*)


En remplaçant n par (n-2) dans (*) on a


En poursuivant ainsi, on arrive à
(n=2 dans (*))
puis
(n=1 dans (*))

Ensuite on se sert de la propriété suivante:
si 0<a<b et 0<a'<b' alors 0<aa'<bb'

ce qui donne:



le facteur qui est strictement positif, apparaît des deux côtés de l'inégalité donc on peut le simplifier.
Idem pour

Finalement il reste


Comme apparaît n fois, il vient:


Bye :we:

[stephM]

je vous remercie beaucoup. Je ne pensais pas avoir de réponses encore ce soir en fait.
Bonne soirée et bonne nuit