Les suites niveau terminale

[mydoudouitsk]

Bonjour, je ne comprends pas un exercice que l'on a fait en cours pourrait-on m'expliquer?

on a


On veut montrer que pour tout n appartient au naturel

I.
d'où

H. soit k appartient au naturel tel que
On veut montrer que

donc on veut montrer que :



Comme et comme f est strictement croissante, on a bien .

Donc pour tout n appartient au naturel strictement décroissante.

Mes questions:

sur un graphique que repésentent et ?
De même pour et
f est strictement croissante car ?
Et pourquoi si f est strictement croissante, et alors la suite est décroissante?

[Ben314]

"Sur un graphique que repésentent et "
Evidement, tout dépend du graphique...
Vu l'exo, je ferais bien un graphique avec un axe des x, un axe des y et la courbe de la fonction .
A priori, au début, vu que je mettrait bien sur l'axe des x et sur l'axe des y pour 'voir' l'égalité .
Sauf que, dans la partie dont tu parle (la récurrence), pour comprendre, il vaut mieux 'voir' et sur l'axe des x puis et sur l'axe des y.

"f est strictement croissante car ?"
bien sûr !!!


"pourquoi si f est strictement croissante, et alors la suite est décroissante ?"
Là tu mélange 2 choses :
Le fait que f est croissante permet de faire la réccurence : "si alors "
Aprés, une fois la réccurence "finie", on en déduit (de la réccurrence) que pour tout n naturel et cela prouve (c'est la définition) que la suite est décroissante

[mydoudouitsk]

d'accord, et si f était décroissante? on changerait les signes de sens?

[Ben314]

Si f était décroissante, ça serait super le bordel car, si par exemple
U2>U1 on aurait (en utilisant la décroissance de f)
U3U3
U5<U4
.
.
.
Et la suite ne serait clairement ni croissante, ni décroissante
(arrivé là, on pourait essayer d'étudier les termes d'indice pairs d'un coté, puis ceux d'indice impairs de l'autre.... mais cela ferait un long problème au niveau lycée...)

[mydoudouitsk]

Ah oui quand même!

Mais dans quels cas ou pour quelle (Un), la suite serait décroissante ou coissante si f est croissante? S'il y a vraiment énormément de cas, pourriez vous me citer les plus fréquents?

[Ben314]

Si f est croissante, cela signifie que, si aU0 alors en utilisant la croissance de f, on a
U2=f(U1)>f(U_0)=U1, en réapliquant f on a
U3=f(U2)>f(U_1)=U2 ..... etc (pour rédiger comme il faut ce 'etc' il faut faire une récurrence)
Dans ce cas, la suite est croissante.

2) Si U1<U0 alors en utilisant la croissance de f, on a
U2=f(U1)<f(U_0)=U1, en réapliquant f on a
U3=f(U2)<f(U_1)=U2 ..... etc (pour rédiger comme il faut ce 'etc' il faut faire une récurrence)
Dans ce cas, la suite est décroissante.

Constatation : ne pas croire "bètement" que f croissante implique croissante : c'est faux.
Je pense qu'il faut refaire un des deux raisonnement ci dessus à chaque exercice...