Les nombres complexes

[MrLyceen007]

Le plan complexe ou d'Argand-Cauchy est rapporté au repère orthonormé direct (O,,) d'unité graphique 2 cm. On note f l'application directe du plan qui à tout point M d'affixe z du plan privé du point O associe le point M' du plan d'affixe z' tel que :
z' = f(z) = 1/(z barre) où (z barre) est le conjugué de z.

1) Montrer que : z' = z/(|z|^2), en déduire que les points O, M et M' sont alignés.

2) Déterminer l'ensemble V des points invariants par f. C'est-à-dire des points dont l'affixe z vérifie z = f(z).

3) On appelle A et B les points d'affixes respectives zA = -1 et zB = i et C le cercle de diamètre [AB].
(a) Montrer que A et B appartiennent à V
(b) Déterminer l'affixe du point E, milieu du segment [AB]
(c) Déterminer une équation cartésienne du cercle C
(d) Soit E' l'image du point E, montrer que E' appartient à C

4) Le point M d'affixe z = x+iy étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' = x'+iy' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) en déduire l'affixe des points de la droite (AB) en fonction de x
(b) On pose OM^2 = k, exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M

5) Faire une figure complète sur GéoGébra et vérifier que l'image d'un point M quelconque de (AB) se trouve sur le cercle C.

Remarque : L'inversion est une application géométrique du plan dans lui-même, elle a la particularité entre autre de transformer des droites en des cercles, et donc des droites parallèles en des faisceaux de cercles.


J'ai réussi la première partie de la première question, après je bloque

Slt kelly65, on a eu le meme DM au meme moment. COINCIDENCE =D.

D'ailleur quel lycee frequentes-tu ?

[kelly65]

Triangulaire ? ...Comment sa ?

Tu peux m'expliquer stp ?

Merci

dans mon cours j'ai une formule qui dit : l z + z' l inférieur ou égal à l z l + l z' l et j'ai utilisé ça

C'est quoi ton prénom toi ?

[Carpate]

Slt,

Je suis un peu perdu. J'ai suivi ta demarche mais je sais pas si c'est correct ce que j'ai fait :

O,M,M' sont alignes si et seulement si où k est un réel

designe l'affixe du vecteur

et se calcule par :







Est ce que c'est bon ?

Re-bonjour MrLyceen007
Mais qu'est-ce que tu viens faire dans ce fil alors que tu en a déjà ouvert un sur ce même sujet : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=146556&highlight=MrLyceen007
Ca ne peut qu'embrouiller et distraire kelly 65. Et si veux de l'aide supplémentaire pose tes questions dans ton 'fil' initial.

[Tiruxa]

En effet, ne mélangeons pas tout, mais pour ta réponse au 1° Kelly j'ai quelques doutes...

Tu risques d'avoir faux si c'est mal utilisé.

Ce que je proposais était très rapide
où est un réel
donc les vecteurs et sont colinéaires et O, M, M' sont alignés.
en effet

[kelly65]

Je me répète : z=x+iy est l'affixe d'un point quelconque du plan complexe.
Or on cherche l'image par f de la droite (D).
L'affixe d'un point de la droite(D) est (tu l'as déjà montré)
Donc un point M d'affixe z de (D) sera transformé par f en un point M' d'affixe
J'espère que tu vas avancer pour la suite ...

Je suis toujours coincée à cette question-là. Cela ne montre pas que M' appartient à C..

[Tiruxa]

Tu as tout l'équation de C, les coordonnées de M', il reste à remplacer x et y par les coordonnées de M' pour vérifier l'équation.

Fais part de tes calculs on rectifiera si besoin.

[kelly65]

Tu as tout l'équation de C, les coordonnées de M', il reste à remplacer x et y par les coordonnées de M' pour vérifier l'équation.

Fais part de tes calculs on rectifiera si besoin.

J'ai fais :
z' = z/k z' = x/k + i(y/k)
J'ai remplacé avec les coordonnées de M' ce qui donne : z' = x/k + i((x+1)/k)
Mais après je fais quoi ?

[Carpate]

J'ai fais :
z' = z/k z' = x/k + i(y/k)
J'ai remplacé avec les coordonnées de M' ce qui donne : z' = x/k + i((x+1)/k)
Mais après je fais quoi ?

Y'a plusieurs façons de faire :


(1)

On calcule :

=1/k

d'après (1) :
soit
M' décrit (C)

[kelly65]

C'était super simple en fait -_-

[MrLyceen007]

En effet, ne mélangeons pas tout, mais pour ta réponse au 1° Kelly j'ai quelques doutes...

Tu risques d'avoir faux si c'est mal utilisé.

Ce que je proposais était très rapide
où est un réel
donc les vecteurs et sont colinéaires et O, M, M' sont alignés.
en effet

Je ne comprend pas trop ta demarche.

Tu pense pouvoir me l'expliquer ici : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=146556&highlight=MrLyceen007 pour eviter que Kelly65 s'embrouille

Merci d'avance

[MrLyceen007]

dans mon cours j'ai une formule qui dit : l z + z' l inférieur ou égal à l z l + l z' l et j'ai utilisé ça

C'est quoi ton prénom toi ?

Et comment ta utiliser cette inegalite triangulaire pour demontre que les point O, M , M' etaient alignes ?

[kelly65]

Et comment ta utiliser cette inegalite triangulaire pour demontre que les point O, M , M' etaient alignes ?

j'ai remplacé z' et j'ai trouvé que a gauche et a droite il y avait pareil donc pas de triangle, les points sont alignés

[kelly65]

Comment faire la question 4(d) ??

[Tiruxa]

Utilise les résultats de la 1 et de la 4c)

[Carpate]

Comment faire la question 4(d) ??

Et en plus kelly65 se fout du monde : il (ou elle) n'a même pas lu ma réponse (hier à 18h49) !
kelly65, toutes mes excuses j'ai confondu 4-c) et 4-d)
Je fatigue ...

[Tiruxa]

Carpate, il s'agit de la question suivante... cela dit c'est une question facile et Kelly peut très bien la trouver seul(e)

[Carpate]

Carpate, il s'agit de la question suivante... cela dit c'est une question facile et Kelly peut très bien la trouver seul(e)

kelly65 , toutes mes excuses j'ai confondu 4-c et 4-d !

[MrLyceen007]

Y'a plusieurs façons de faire :


(1)

On calcule :

=1/k

d'après (1) :
soit
M' décrit (C)

Tu crois pouvoir me l'expliquer etape par etape stp. Je suis totalement perdu. Je ne sais absolution pas quoi faire pour les questions : 3.A , 3.D , et 4.C.