Les nombres complexes

[kelly65]

Le plan complexe ou d'Argand-Cauchy est rapporté au repère orthonormé direct (O,,) d'unité graphique 2 cm. On note f l'application directe du plan qui à tout point M d'affixe z du plan privé du point O associe le point M' du plan d'affixe z' tel que :
z' = f(z) = 1/(z barre) où (z barre) est le conjugué de z.

1) Montrer que : z' = z/(|z|^2), en déduire que les points O, M et M' sont alignés.

2) Déterminer l'ensemble V des points invariants par f. C'est-à-dire des points dont l'affixe z vérifie z = f(z).

3) On appelle A et B les points d'affixes respectives zA = -1 et zB = i et C le cercle de diamètre [AB].
(a) Montrer que A et B appartiennent à V
(b) Déterminer l'affixe du point E, milieu du segment [AB]
(c) Déterminer une équation cartésienne du cercle C
(d) Soit E' l'image du point E, montrer que E' appartient à C

4) Le point M d'affixe z = x+iy étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' = x'+iy' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) en déduire l'affixe des points de la droite (AB) en fonction de x
(b) On pose OM^2 = k, exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M

5) Faire une figure complète sur GéoGébra et vérifier que l'image d'un point M quelconque de (AB) se trouve sur le cercle C.

Remarque : L'inversion est une application géométrique du plan dans lui-même, elle a la particularité entre autre de transformer des droites en des cercles, et donc des droites parallèles en des faisceaux de cercles.


J'ai réussi la première partie de la première question, après je bloque

[kelly65]

Besoin d'aide s'il vous plait

[Tiruxa]

Bonjour,
Pour démontrer que 3 points, A,B et C sont alignés dans le plan complexe, on utilise cette propriété :

A,B,C alignés si et seulement si où k est un réel

Dans cette notation, désigne l'affixe du vecteur
et se calcule par :

[kelly65]

Merci beaucoup !
Je comprends pas la question 2...

[Tiruxa]

Utilise l'interprétation géométrique du module de

[kelly65]

Dans la question 1 on a vu que les points O, M et M' sont alignés et que z' = z/(module de z)2 et z' = f(z), z' étant l'affixe du point M' donc pour la question 2 on pourrait dire que l'ensemble des points est la droite passant par O, M et M' c'est ça ??

[Carpate]

Dans la question 1 on a vu que les points O, M et M' sont alignés et que z' = z/(module de z)2 et z' = f(z), z' étant l'affixe du point M' donc pour la question 2 on pourrait dire que l'ensemble des points est la droite passant par O, M et M' c'est ça ??

kelly65 = alias MrLyceen007 ?
Voir : http://www.maths-forum.com/devoir-maison-nombre-complexe-l-inversion-146556.php
C'est du copié-collé !
Edit
Je retire ce que j'ai écrit : il ya des différences donc élèves de la même classe.

[kelly65]

Non loin de là ! Si tu regardes bien, il a posté son DM aujourd'hui et moi le 28 octobre, on a sûrement eu le même DM par pur hasard !

[Carpate]

Non loin de là ! Si tu regardes bien, il a posté son DM aujourd'hui et moi le 28 octobre, on a sûrement eu le même DM par pur hasard !

Tout à fait
As-tu avancé ?
Notamment sur l'ensemble des points invariants par f ?
donc tels que

[kelly65]

non je blogue a la question 2..

[kelly65]

Quelqu'un pourrait m'aider à la question 2, je suis vraiment bloquer...

[Carpate]

Quelqu'un pourrait m'aider à la question 2, je suis vraiment bloquer...

'Déterminer l'ensemble V des points invariants par f. C'est-à-dire des points dont l'affixe z vérifie z = f(z)'
Un point M d'affixe z sera invariant par f si le point M', son transformé par f, est confondu avec M donc si soit

[kelly65]

Il faut faire un calcul ?

[Carpate]

Il faut faire un calcul ?

Ben voui, il faut expliciter soit ou encore ... et interpréter ce résultat

[kelly65]

Ah oui je vois ! Merci beaucoup !

[Carpate]

Ah oui je vois ! Merci beaucoup !

Et qu'as-tu vu ?

[kelly65]

Non en fait j'y arrive pas à faire le calcul ><

[Carpate]

Non en fait j'y arrive pas à faire le calcul ><

donc M décrit ...

[kelly65]

Je suis pas sûre... Un cercle ? :s

[Carpate]

Je suis pas sûre... Un cercle ? :s

oui, , soit