Les nombres complexes

[pilote S]

Bonjour a tous, j'ai un exercice a faire mais je suis un peu bloquée . Voici l'enoncé.
On note A le pointd'affixe 2-i et f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que:
z'=(2z-1-i)/(z+1)
1/ Soit B le point d'affixe 2-i. Déterminer l'affixe, sous forme algébrique, de l'image B'de B par f.
2/ Soit C' le point d'affixe i. Déterminer l'affixe de l'antecedentd Cde C' par f;
3/(a) Développer (z-i)(z-1+i)
(b) en déduire les points invariants par f.
4/ On pose z=x+iy ou x et y sont des réels.
(a) Déterminer en fonction des reels xet y , la partie réelle et la partie imaginaire de z'

Voici mes reponses

1/ z'=(2z-1-i)/(z+1)
z'b=2(2-i)-1-i/(2-i)+1 =12-6i/10
z'b= 6/5-3/5 i
Pour la question 2 je pense qu il faut resoudre i =(2z-1-i)/(z+1) et je dois chercher z. mais je n y arive pas
3/ j'ai developpe et j'obtiens z²-z+i+1

Pour la suite de l exercice je bloque . Pourriez vous m'expliquer svp. Merci d'avance de votre aide .

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Pour la question 2 il faut simplement multiplier par z+1 de chaque coyté de ton égalité et ensuite factoriser z.
Sinon y'a une coquille dans ton énoncé, tu es sur que A n'est pas d'affixe -1 ?

[pilote S]

Merci pour la question 2, si le point A a pour affixe -1, je me suis trompée desolé

[pilote S]

lorsque je multiplie par z+1 jobtiens
i+z=2z-i-1
2i=2z-iz-1
apres je factorise
2i=z(2-i-1/z) Est ce que ma factorisation est juste?

[Sa Majesté]

lorsque je multiplie par z+1 jobtiens
i+z=2z-i-1

Ce n'est pas juste

[pilote S]

oups c'est i+iz = 2z-i-1 le bon resultat?

[Sa Majesté]

La bonne équation tu veux dire ? Oui c'est ça
Maintenant il faut résoudre cette équation en mettant tous les z ensemble

[pilote S]

quand je passe les z d'un coté j obtiens iz-2z=-2i-1 apres je mets en facteur z donc j ai
z(i-2)= -2i-1

[Sa Majesté]

Oui
Ben tu n'as plus qu'à diviser et à simplifier

[pilote S]

donc en divisant par (i-2) on a
z(i-2)/(i-2)=(-2i-1)(-i-2)/(i-2)(-i-2) (j'ai multiplié par le conjugé)

Apres avoir simplifier j'obtiens au final 5i/5=i
POur la question3 j ai cherché la definition d'un point invariant: un point M est INVARIANT par f si et seulement si : f(z)=z soit pour nous ici z’=z cela signifie que M a pour image lui-même par f (f(M)=M)

j' obtiens z²-z+i+1=0 et je factorise par (z-i)(z-1+i)=0 (d apres la question 3a)mais je n'arive pas à resoudre les 2 points invariants par f
Pourriez vous m'expliquer s il vous plait . Merci d'avance pour votre explication

[Sa Majesté]

Tu es presque au bout
f(z)=z ssi z²-z+i+1=0 ssi (z-i)(z-1+i)=0
Quand est-ce qu'un produit est nul ?

[pilote S]

Merci pour vos explications
(z-i)(z-1+i)=0 alors au moins un des facteurs est nul donc on a
soit (z-i)=0 ou (z-1+i)=0
z=i ou z=1-i
pour la question 4a je dois remplacer dans l'expression de départ les z par x+iy ??

[Sa Majesté]

Merci pour vos explications
(z-i)(z-1+i)=0 alors au moins un des facteurs est nul donc on a
soit (z-i)=0 ou (z-1+i)=0
z=i ou z=1-i

Oui
D'ailleurs le point d'affixe i n'est autre que C=C' (voir question 2)

pour la question 4a je dois remplacer dans l'expression de départ les z par x+iy ??

Oui
C'est juste un peu de calcul

[pilote S]

j'obtiens z'= 2x+2iy-1-i/(x+iy) mais j arive pas a trouver la partie reelle et la partie imaginaire , j ai essaye de multiplier par le conjugé mais aucun terme ne se simplifie ...

[Sa Majesté]

Il faut pourtant bien multiplier par le conjugué

[pilote S]

j' ai trouvé 2x²+2iyx-x-ix+2xiy+2(iy)²-iy-i²y/(x²-iy²)

[Sa Majesté]

Y a un souci
Déjà tu t'es trompé quand tu as remplacé z par x+iy dans (2z-1-i)/(z+1)

[pilote S]

au départ j ai (2z-1-i)/(z+1) quand je remplace j ai
(2(x+iy)-1-i)/(x+iy)+1
Lorsque je developpe j ai 2x+2iy-1-i/x+1+iy

[pilote S]

j'ai multiplié par le conjugé x+1-iy et jobtiens
2x²-x-1+2y²+3iy-ix-i-y/x²+2x+2-iy+y²
Mais je n arrive pas a trouver la partie reelle et la partie imaginaire . Est ce que quelqu un pourrait m expliquer comment faire ?? Merci d'avance

[Lostounet]

Tout ce qui 'contient' un i est imaginaire, si je ne me trompe pas.
(En supposant que x et y sont deux réels).