Les miroir parabolique, Derivation

[aureillia47]

Bonjour, j'aurai besoin un peu d'aide pour cette exercice.

Je suis bloquer a la question 7) :doh:


"Les miroirs paraboliques ont une propriété intéressante que nous allons découvrir grâce au calcul infinitésimal.

Soit P la restriction de la parabole d'équation y=x^2 à l'intervalle [-1;1]. Soit d la droite d'équation y=2 et M un point mobile sur la droite d, dont l'abcisse a est comprise entre -1 et 1. un rayon lumineux part de M parallèlement à l'axe des ordonnées ; il rencontre la parabole en un point A. Le rayon réfléchi est déterminé comme étant le symétrique du rayon incident par rapport à la normale à la parabole au point A.

LA normale en A est la perpendiculaire à la tangente à la parabole au point A.

Soit M le point de coordonnées (a ; 2) à l'origine du rayon incident représenté par la droite (MA).
Nous allons calculer les coordonnées du point M', symétrique de M par rapport à la normale M, puis déterminer l'équation de la droite (AM') représentant le rayon réfléchi.
Nous pourrons alors conclure."

1) Calculer l'équation de la tangente T à la parabole au point A.
2) Démontrer que l'équation de la normale M en A est donnée par y = -\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}.
3) Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire D à la normale M (donc parallèle à la tangente) et passant par le point M.
4) Démontrer que les coordonnées du point H, intersection des droites (M) et (D), sont données par : (\frac{6a^3-3a}{4a^2+1};\frac{4a^4+2}{4a^2+1})
5) En utilisant l'égalité vectorielle MM'=2MH, démontrer que les coordonnées du point M' sont : (\frac{8a^3-7a}{4a^2+1};\frac{8a^4-8a^2+2}{4a^2+1})
6) En déduire que l'équation de la droite (AM') est donnée par y = \frac{4a^2-1}{4a}x+\frac{1}{4}.
7) Démontrer que pour toute valeur de a, la droite (AM') passe par le point F de coordonnées (0;\frac{1}{4}).


Merci, coordialement :we:

[landagama]

Bonjour, la question 7 est toute bête en fait !

L'équation de (AM') est :

Le point F a pour coordonnées

Tu as donc yF=1/4 d'une part.
D'autre part :

Donc (les coordonnées du point F vérifient l'équation de la droite (AM') )

On peut donc conclure que F appartient à (AM').

Ca va, je pense que tu as compris ?

Tu peux venir visiter mon blog de maths si ça te dit !