Les groupes / Ensembles

[Houda.9rayti]

Montrez que

P(AUB) C P(A)UP(B) <=> B C A ou A C B



NB : C = est inclu ...

[Ben314]

Salut,
En supposant que P(?) désigne l'ensemble des parties de ?,
Le sens <= est totalement évident (et on a même P(AuB)=P(A)uP(B))
Dans le sens =>, si on suppose que P(AuB) C P(A)uP(B), quelle est le "plus gros" élément de P(AuB) ?cet élément doit (par hypothèse) etre un élément de P(A) ou bien de P(B). Qu'est ce que ça veut dire ?

[Houda.9rayti]

soit {x} cet élément
{x} £ P(A) U P(B)

[Houda.9rayti]

c'est pas ça ?

[Ben314]

Perso, je ne pense pas qu'un singleton {x} soit la plus grande (au sens de l'inclusion) partie de AuB.
Pour moi, la plus grande partie de AuB, ça serait plutôt...

[Houda.9rayti]

l'union de P(A) et P(B) ?

[Houda.9rayti]

Qu'en dis tu ?

[Ben314]

Ce que j'en dit, c'est que

l'union de P(A) et P(B) ?

n'est surement pas la plus grande partie de AuB vu... que ce n'est pas une partie de AuB.

[Houda.9rayti]

la plus grande partie est l'ensemble des x qui appartiennent a A ou a B
c'est a dire : x£A ou x£ B

[Ben314]

On prend A={1,2} et B={2,3}.
Ecrit toute les parties possibles de AuB, toutes les parties possibles de A, toutes les parties possibles de B.
As-t(on P(AuB) c P(A)uP(B) ? pourquoi ?

[Houda.9rayti]

{;)}{1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}

la plus grande partie est {1,2,3}

[Ben314]

Oui.
Pour tout ensemble X, il est évident que le "plus grand" élement de P(X) est X.
Par exemple AuB est une partie de AuB, c'est à dire un élément de P(AuB).
Si P(AuB) c P(A)uP(B), l'élément AuB de P(AuB) doit être un élément de P(A) ou bien un élément de P(B) ce qui signifie que...

[Houda.9rayti]

A={1,2} et B={2,3}

P(A) = {;)}{1} {2} {1,2}
P(B) = {;)}{2} {3} {2,3}

P(AuB) = {;)} {1} {2} {3} {2,3} {1,2} {1,3} {1,2,3}

[Ben314]

A={1,2} et B={2,3}

P(A) = {;)}{1} {2} {1,2}
P(B) = {;)}{2} {3} {2,3}

P(AuB) = {;)} {1} {2} {3} {2,3} {1,2} {1,3} {1,2,3}

Oui, et tu constate que {1,2,3} est dans P(AuB) alors qu'il n'est ni dans P(A), ni dans P(B) donc que, dans ce cas, on n'a pas P(AUB) c P(A)uP(B)

Il suffit de faire le même raisonnement dans le cas général (où on ne sait pas trop qui sont A et B)

[Houda.9rayti]

on sait que {Aub} C P(AuB)

donc {AuB} C P(A) ou {AUB} C P(B)
Aub C A ou AUB C B
B C A OU ACB

CQFD
c'est pas ca ?

[Ben314]

C'est bien ça.

[Houda.9rayti]

Merci !! bonne journée

[Houda.9rayti]

précisez la période de
f(x) = cos3x + sin x

j'ai trouvé 2pi
mais est ce qu'il n'y a pas une autre période inférieur ?