Les formes quadratiques : la portée de son résultat surprend

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde

J'ai trouvé l'exercice suivant dans le magazine Tangente (que vous connaissez surement). Le raisonnement à tenir est assez "chaud" à trouver seul (je cherche encore en fait :lol2:).
La chose intéressante ici est le résultat de l'exercice qui en s'étendant donne quelque chose de très sympathique et vraiment intéressant !

Enoncé :

Posons tel que et .
Montrer que si est premier pour tout k entier et que alors on a premier pour tout k entier et .

Bon, pour commencer je pense faire par l'absurde.
Je pose un x tel que x remplisse les conditions suivantes : et non premier puis je discute son existence.

Voilà pour le moment où j'en suis. Je continue de réfléchir ce matin (d'ici mes heures "officielles" de maths en cours).

Bonne journée !

Tim

[Timothé Lefebvre]

Bon alors j'ai mené mon raisonnement par l'absurde jusqu'au bout et voici ce sur quoi je tombe.

Soit p le plut petit diviseur premier de .
De plus, donc car si on aurait donc , d'où l'absurde.

Ensuite ben j'attends qu'une idée géniale me vienne :/
Il me faudrait une relation exploitable qui lie et .
Je vais voir ce que je peux en tirer.

[Nightmare]

Salut,

à première vue il est intéressant de remarquer que x²+x+n-(k²+k+n)=(x-k)(x+k+1)

Tu as montré p inférieur à 2x, donc soit il est inférieur à x , donc de la forme x-k, soit il est entre x et 2x et donc de la forme x+k+1 avec k inférieur à x-1.

Du coup p divise aussi k²+k+n. En prenant x minimal on a une contradiction.

[Timothé Lefebvre]

J'ai continué sur ton idée pendant mon cours d'histoire (il faut bien que ça serve à quelque chose ^^).

Comme on a ou avec .
Comme divise et que avec minimal et premier, alors on a .
La relation nous donne donc soit .
Et comme on avait on tombe sur l'absurdité

[Nightmare]

as-tu compris ce que j'entendais par x minimal? Car en fait il n'y avait rien à continuer, la contradiction à laquelle j'aboutissais permet directement de conclure!

[Timothé Lefebvre]

Ah d'accord, donc la suite de mon raisonnement est inutile si on considère x minimal ?

[Nightmare]

Oui mais ce qu'il faut comprendre c'est ce que j'entendais par "x minimal" (voir pourquoi on obtient une contradiction)

[Timothé Lefebvre]

Oui, je vois pourquoi tu fais ça.

Question subsidiaire : quelles valeurs de n respectent l'énoncé ?
A première vue je dirais au moins 2, 3 et 5 mais les suivants ne marchent pas.
Comment pourrait-on tous les trouver ? Il ne doit pas y en avoir tant que ça ...

[Nightmare]

Le fait est qu'il faut aussi justifier l'existence de cette valeur x minimal, vois-tu comment faire?

Sinon pour les valeurs, demander à un bon logiciel suffirait !