Les complexes : devoir de mathematiques !

[sosoeuh]

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm).
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = -1.
On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par :

z' = (z-1)/(z+1)


On fera une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.


1) Déterminer les points invariants de f, c’est-à-dire les points M tels que M = f(M).

2) a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1,
(z'-1)(z+1)=-2

b) En déduire une relation entre | z’;)1 | et | z + 1 |, puis entre arg(z';)1) et arg(z+1), pour tout nombre complexe z différent de -1.
Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3) Montrer que, si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.
4) Soit le point P d’affixe p = -2+i racine de 3 .
a) Déterminer la forme trigonométrique de (p +1).
b) Montrer que le point P appartient au cercle (C).

5) Soit Q le point d’affixe q = -Òp où Òp est le conjugué de p.
a) Montrer que (q-a)/(p'-a) est un nombre réel positif.
b) En déduire que les points A, P’ et Q sont alignés.

6) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l’image P’ du point P par l’application f.


les questions en rouges representent les questions où je ne sais pas comment mis prendre pour les resoudre. merci de maider .

[hellow3]

Salut.

b.
(z'-1)(z+1)=-2
|(z'-1)(z+1)|=|-2|
|z'-1| |z+1|=2

arg[(z'-1)(z+1)]= arg(-2) [2Pi]
arg[(z'-1)] * arg[(z+1)]= arg(-2) [2Pi]

3. Traduis ca donne:
Si |z+1|=2 montrer que |z'-1|=1

b.
(q-a)/(p'-a) est un nombre réel positif.
or q-a est l'affixe du vecteur AQ et P'-a celle du vecteur AP'.
les deux vecteurs sont collinéaires. Donc les 3 points alignés.

[sosoeuh]

merci mai jai encore un ptit souci :
b.
(z'-1)(z+1)=-2
|(z'-1)(z+1)|=|-2|
|z'-1| |z+1|=2

pour calculer la distance est ce qu'il faut juste calculer le module de 2 ?

arg[(z'-1)(z+1)]= arg(-2) [2Pi]
arg[(z'-1)] * arg[(z+1)]= arg(-2) [2Pi]

et la pour calculer les angles je prend les valeur de -2pie donc sa fai pie ??

et enfin je vois toujours pas comment montrer que si l z+ 1l=2 montrer que lZ'-1l=1

desole mais les complexes et moi sa fai 2 lol !

[hellow3]

pour calculer la distance est ce qu'il faut juste calculer le module de 2 ?
z+1 est l'affixe du vecteur BM
z-1 est l'affixe du vecteur AM

|z+1| est la distance entre M et B d'affixe -1.
|z-1| est la distance entre M et A d'affixe 1.

Excuse-moi je me suis trompé.
arg[(z'-1)] + arg[(z+1)]= arg(-2) modulo 2Pi
arg(z'-1) est l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur AM'.
arg(z+1) est l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur BM.
arg(-2)=Pi car -2 appartient a l'axe des abscisses, du coté négatif.

-----------
et enfin je vois toujours pas comment montrer que si l z+ 1l=2 montrer que lZ'-1l=1

Tu as: |z'-1| |z+1|=2
si |z+1|=2, alors
|z'-1|*2=2
|z'-1|=1

[sosoeuh]

merci bcp j'ai mieu compris comme ça !