Les barycentres

[Sohana]

Bonjour !

J'ai un devoir de math pour dans 1 petite semaine, je galère vraiment et dés le début de l'année ça le fait pas alors je suis là pour vous demandez votre aide.

Exercice 2:
Soit ABCD un tétrèdre: on nomme I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Faire la figure.

Soit G le barycentre des 4 points pndérés (A;1), (B;2), (C;1), (D;2).

1. Soit K = bar {(A;1), (B;2)} et L = bar {(C;1), (D;2)}. Construire K et L et les placer sur la figure. Démontrer que G est le milieu de [KL]. Construire G.

2. Démontrer que les points I, J, G sont alignés et préciser la position du point G à l'aide d'une relation vectorielle.


J'ai déjà commencé la question 1 mais je ne sais pas si c'est juste.
1. Pour construire les points K et L, j'ai utilisé la relation de Chasles:
KA + 2KB = 0
KA + 2KA + 2AB = 0
3KA + 2AB = 0
KA = 2/3 AB

LC + 2LC = 0
LC + 2 LC + 2CD = 0
3LC + 2 CD = 0
LC = 2/3 CD
Quelqu'un peut me dire si c'est juste ?

Ensuite pour le 2. je ne sais pas comment faire pour démontrer que G est le milieu de [KL] et que 3 points sont alignés ?

[Flodelarab]

non! c le contraire: AK = 2/3 AB
intuitif puisque le point est 2 fois plus attirer par B que par A

idem! CL=2/3 CD

pour la question: toujours par Chasles

[Sohana]

Ui mais comment on fait avec Chasles pour la suite ?! Avec quelle propriété ?
Et c'est pour démontrer l'alignement des 3 points ou que G est le milieu de [KL] ?

[colo]

Il faut utiliser la règle d'associativité. Je te fais le premier, la seconde question doit se faire avec le même raisonnement.

G bar. de (A;1), (B;2), (C;1), (D;2)
K = bar {(A;1), (B;2)}
L = bar {(C;1), (D;2)}
donc avec la règle d'associativité (c'est du cours), on en déduit que :
G bar de (K,3) , (L,3)
d'ou G bar. de (K,1), (L,1) car je rappelle que si H bar. de (A,a),(B,b) et k différent de 0, alors H bar. de (A,ka),(B,kb)
G bar. de (K,1), (L,1) don G est l'isobarycentre de K et L, or l'isobarycentre de 2 points est le milieu du segment

Pour montrer que I,J et G sont alignés, essaie de la même façon de montrer que G est le barycentre de I et de J affectés des coeficients que je te laisse trouver. Une fois que tu as fait cela , tu sais que le barycentre de 2 points est alignés avec ces 2 points (c'est du cours, mais tu peux écrire aussi une égalité vectorielle comme au 1°) et montrer donc que les vecteurs sont colinéaires)
Indications : I est un barycentre par définition, dans ton énoncé
J est également un barycentre
tu sais que tu dois utiliser la règle d'associativité