Les barycentres : exercice a 3 etoiles : bonne chance

[carpenter]

bonjour , je vais faire travailler vos neuronnes c'est un exercice plutot dur et ennuyeux que je vais vous proposer ( exercice a 3 etoiles = tres compliqué)
ABCD est un tétraedre . on definit les point , I,J,K et l
le vecteur AI=1/3 du vecteur AB vecteur BJ=2/3 du VECt BC , le vect CK=1/3 du vect CD
vect DL =2/3 du vect DA

M et N sont les milieu respectifs de [ AC] et [BD]
1°) demontrer que les droites ( IK) (IJ) et (MN) sont concourantes en un point G que l'on définira


2°) on désigne par P le milieu de [CN] démontrer que la droite (AP) passe par G et preciser la position de G sur le segment [AP]

3°) ( enfin derniere question) la droite (BG) couê la face ACD en Q
Démontrer que Q appartient au segment [DM] et preciser la position de Q sur [DM]

voila c' finit en esperant vos reponses prochaines je vous salue

[becirj]

bonjour
1. En commençant par écrire chacun des points I, J, K et L comme barycentre (je te laisse le faire), on est amené à considérer le point G barycentre de (A,2), (B,1), (C,2), (D,1).
En regroupant les points pondérés deux par deux de 3 manières différentes et en utilisant le théorème du barycentre partiel (ou associativité du barycentre), on démontre le résultat cherché.

[Anonyme]

bonjour , la 1er question j'ai trouvé mais apres je seche completement , s'il vous plait aidez moi je suis bloqué ++

[becirj]

Bonsoir
Toujours le théorème du barycentre partiel !

2. G barycentre de (A,2), (B,1), (C,2), (D,1).
N est le milieu de [BD] donc N est le barycentre de (B,1) , (D,1) et par conséquent G est le barycentre de (A,2), (C,2), (N,2).
P est le milieu de [CN] donc le barycentre de (C,2), (N,2) par conséquant G est le barycentre de (A,2), (P,4);
On en déduit que G appartient à [AP] et que .

3. Soit Q' le barycentre de (A,2), (C,2), (D,1), c'est un point du plan (ACD) et G est le barycentre de (B,1), (Q', 5) donc G appartient à la droite (BQ').
Q' appartient à la droite (BG) et au plan (ACD), il est donc confondu avec le point d'intersection Q de (BG) et du plan (ACD).
Q=Q'= barycentre de (A,2), (C,2), (D,1).
Regroupons les points (A,2), (C,2). Il vient que Q est le barycentre de (M,4), (D,1) donc Q appartient au segment [DM] et .