Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

par **Ben314** » 17 Avr 2010, 20:18

Une fois que tu as vu que l'ensemble des éléments inversibles de Z/nZ est bien un groupe, tu utilise ce que tu as montré avant, c'est à dire que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, ce qui signifie que (un élément)^(cardinal du groupe)=1.
Ici, cela signifie que, si on note

le nombre d'éléments inversibles dans Z/nZ alors, pour tout

inversible de Z/nZ ( a est premier avec n), on a

ce qui signifie que

(c'est le théorème d'Euler)
Dés que tu as démontré que, si p est premier, on a

eh ben t'as automatiquement démontré que, pour tout a non divisible par p ( a premier avec p) on a

(petit théorème de Fermat)

Bon, ca me dit pas comment tu as fait pour trouver que

lorsque

?

par **benekire2** » 17 Avr 2010, 20:56

pour les trouver, j'ai simplement fait deux trois test genre avec 21=3*7 ou 12=2*6 et j'en ai tiré une généralité, qui me semblait pas hasardeuse,

Pour la structure de groupe, l'élément neutre est

bien sûr chaque élément est inversible. Me reste la loi associative que j'arrive pas à mettre en évidence ...

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 08:55

Comment montrer que l'ensemble des inversibles de Z/nZ est stable par produit ? Je sais qu'elle est associative, mais me reste plus qu'a montrer la stabilité par produit.

Après une fois que j'ai fais ça le théorème d'Euler en découle a priori.

Merci :++:

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 10:26

A part ce problème et la démo de ma grosse conjecture, y a plus de problèmes, j'ai trouvé un moyen simple pour trouver facilement l'inverse d'un élément de Z/nZ en utilisant le théorème d'euler.

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 11:58

benekire2 a écrit:Comment montrer que l'ensemble des inversibles de Z/nZ est stable par produit ?

Tu l'as dit toi même, les inversibles sont les entiers premiers à n... Pourquoi le produit de deux entiers premiers à n est il forcément encore premier à n?

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 12:32

Pour l'indicatrice d'Euler, combien il y a-t-il d'entiers premiers à pq pour p et q deux nombres premiers donnés?

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 13:27

ah .. laisse tomber, j'avais même pas vu ...

Pour l'indicatrice :
il y a (p-1)(q-1) nombres inférieurs à pq qui soient premiers avec pq ; mais par contre je suis pas sûr que sa soit ça que tu attende !

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 13:38

Ok ! Avec ça et ce que tu as trouvé avant tu peux conclure.

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 13:49

OK :id:

Pour inverser les éléments, grâce au théorème d'euler on a :

a^(phi(n-1))=a'[n]

avec a' l'inverse de a

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 14:06

Plutôt

.

Avec ça, tu devrais pouvoir trouver tous les entiers x tels que

(le carré est là juste pour pas que ce ne soit trop facile).

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 14:10

oui pardon j'ai mal écrit ! je réfléchis à ton équation modulaire.

par **Doraki** » 18 Avr 2010, 14:15

benekire2 a écrit:Comment montrer que l'ensemble des inversibles de Z/nZ est stable par produit ? Je sais qu'elle est associative, mais me reste plus qu'a montrer la stabilité par produit.

Si on a 2 éléments inversible a et b, d'inverses a' et b', c'est pas très dur de voir que (a*b) est inversible et de calculer son inverse.

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 14:26

Nightmare a écrit:les entiers x tels que

En fait je ne vois pas ce que l'on veut inverser ici ? :hein:

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 15:03

Je te laisse y réfléchir !

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 15:19

Nightmare a écrit:Je te laisse y réfléchir !

D'un sadisme ... :zen:

Sérieusement je ne vois pas, j'ai écrit sur un bout de papier, réfléchis et essayer de retrouver notre théorème d'euler quelque part ou de voir que élément inverser ... j'ai essayer d'inverser 2 ... mais bon :triste:

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 15:22

Plus "intéressant" : résoudre

:lol3:

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 15:25

Pour la méthode, comment résoudrais-tu par exemple 5x²=2 ? Sauf qu'ici on est plus dans R mais dans Z/nZ mais ça semble marcher un peu pareil.

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 15:34

Ba moi je pensais faire comme suit : 5x²=2[7] <=> 5(x²+1)=0[7] <=> x²=-1[7]
et continuer ...

pour 5x²=2 je ferais x²=2/5 soit x=racine(2/5) ou x=-racine(2/5)

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 15:37

benekire2 a écrit:Ba moi je pensais faire comme suit : 5x²=2[7] 5(x²+1)=0[7] x²=-1[7]
et continuer ...

D'ou vient le x²+1 ? C'est correct mais le raisonnement tombe un peu en défaut lorsqu'on modifie 5, 2 et 7 par des grands nombres...

L'idée est de procéder exactement comme dans R.

par **benekire2** » 18 Avr 2010, 15:43

ba en fait 2=-5[7] donc on a 5x²+5=0[7] mais je suis d'accord ça tombe en lambeau sur des grands nombres.

Le problème de procéder comme sur R est que les solutions de l'équation dans R sont irrationnelles.

[J'ai jamais traité de "vraie" équation modulaire avant]

Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

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