Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

[Nightmare]

Pourquoi g^(n+1)=g ? Pourquoi les n autres sont distincts? C'est généralement faux (la deuxième affirmation en tout cas, g^n=1, c'est déjà plus vrai..)

[benekire2]

Pourquoi g^(n+1)=g ? Pourquoi les n autres sont distincts? C'est généralement faux (la deuxième affirmation en tout cas, g^n=1, c'est déjà plus vrai..)

C'est où que j'ai merder ? La a- est juste au moins ??

g^(n+1)=gg^n or g^n=1 d'où g^(n+1)=g


et puis je vois pas pourquoi ils ne seraient pas distincts les g^n de 1 à n-1 ?

[Nightmare]

Pourquoi g^n=1? C'est vrai mais pourquoi?

Pour l'autre affirmation, si je reprends par exemple le groupe des permutations de [|1,n|], je considère une transposition quelconque, elle est toujours d'ordre 2 et non n et par exemple, g^3=g.

[benekire2]

je crois qu'on s'est embrouillé dans les notations. J'ai pas utilisé pareil que toi.


G un groupe fini et H un sous groupe. Soit m l'ordre de H. On a par définition g^m=1 et donc g^(m+1)=g

Et tout les éléments du sous groupe engendré par g ( de 1 à m) sont distincts.
[ici m n'est pas le cardinal de G]

[benekire2]

finalement c'est juste ce que j'ai écrit ou pas ?

[Nightmare]

Qui est H? Qui est g? Si H= alors par définition on a ce que tu as écrit, si H est juste une sous-groupe d'ordre m et g un élément, alors g^m=1 est à montrer...

[benekire2]

ba on l'a montré déjà, on a dit qu'il existait m tel que g^m=1 et que on appelait m l'ordre de g.

[Nightmare]

Tu as dit que m était l'ordre de H pas celui de g ! Comme Ben te l'a dit, si H=, ils correspondent, maintenant on a aussi le résultat que tu stipules, à savoir que si H est un groupe quelconque d'ordre m et g un élément de H, alors g^m=1. Maintenant la question : pourquoi?

[benekire2]

bah, mettons que g est un élément de H. Posons H d'ordre m et g d'ordre n, on a : g^n=1 or par lagrange on sait que l'ordre de g divise l'ordre de H. Donc, m=kn d'où g^(kn)=1

Maintenant, la suite ... et ça c'est moins drôle :zen:

[benekire2]

mp=1[n] <=> mp-kn=1

donc d'après bezout comme on travaille avec m et n libres , et qu'on veut trouver k et p on doit donc avoir PGCD(m,n)=1

[Nightmare]

Ca me va pour les deux. Et pour un entier n fixé, combien il y a-t-il d'entier m inférieur qui lui sont premiers?

[benekire2]

Bah je dirais qu'on peut pas savoir directement, mais après une rapide recherche, il existe une fonction qui nous fait ça qui s'appelle l'indicatrice d'Euler

Est-ce ça ? Ou alors il y a un autre moyen ??

[Nightmare]

Sans parler de l'indicatrice d'Euler pour le moment, tu devrais pouvoir les compter en prenant pas à pas des cas particulier. Le cas n=p premier est simple, tu peux traiter ensuite le cas n=p^k avec p premier et ensuite essayer de trouver l'expression pour n quelconque en utilisant la décomposition en facteur premier.

[benekire2]

avec n=p on en a p-1
Après je réfléchis ..

[benekire2]

pour p^k on trouve (p-1)*p^(k-1) nombres premiers avec p^k

[Ben314]

Jusque là, c'est O.K.
En fait le cas d'un nombre premier p prouve déja le petit théorème de fermat :
"Si n est premier avec p alors "

Sinon, perso, avant de compter le nombre d'inversibles de Z/nZ, j'aurais bien rajouté comme question :
Est il clair que les éléments inversibles de Z/nZ forment un groupe (évidement pour la loi ) ?

P.S. Pour compter le nombre d'éléments inversibles dans Z/nZ avec n quelconque, je sais pas s'il y a un moyen simple sans utiliser ce que l'on apelle "le théorème chinois"...

[benekire2]

finalement je tombe sur
Avec la décomposition en produit de facteur premiers de notre nombre.

[Ben314]

C'est bien ça,
mais tu as fait comment pour le trouver ?

[benekire2]

Jusque là, c'est O.K.
En fait le cas d'un nombre premier p prouve déja le petit théorème de fermat :
"Si n est premier avec p alors "

Sinon, perso, avant de compter le nombre d'inversibles de Z/nZ, j'aurais bien rajouté comme question :
Est il clair que les éléments inversibles de Z/nZ forment un groupe (évidement pour la loi ) ?

P.S. Pour compter le nombre d'éléments inversibles dans Z/nZ avec n quelconque, je sais pas s'il y a un moyen simple sans utiliser ce que l'on apelle "le théorème chinois"...

Euh ... comment on le prouve le petit théorème de fermat avec ce que j'avais écrit ? Je vois pas trop en fait ...

[benekire2]

C'est bien ça,
mais tu as fait comment pour le trouver ?

Ben c'est une conjecture .... je l'ai pas réellement prouvé