Khôlle : Un brin de groupe dans Lagrange.

[Nightmare]

Euh, pourquoi? Je n'ai pas compris le lien !

[benekire2]

oublie, j'ai dit n'importe quoi. h=nq+r <=> h-nq=r donc r est dnas H ( puisque nq est dans H ) et donc je dois pouvoir conclure.

[EDIT: Mais une fois j'y arrive pas :mur: ]

[Nightmare]

N'oublie pas les définitions de n et de r !

[benekire2]

0=
Franchement je ne vois pas. Doit y avoir un truc con, mais :mur:

[Nightmare]

n est censé être le minimum positif de H !

[benekire2]

n est censé être le minimum positif de H !

Ça mérite deux murs :mur: :mur:

Donc r=0 et oui c'était complètement bidon ... enfin passons ; maintenant je sais que les sous groupes additifs de Z sont nZ.

Revenons à l'exercice du haut :zen:

[Nightmare]

C'est l'heure pour moi de te laisser (si l'avion veut bien dékhôller :lol3:). Bonnes vacances :happy3:

[benekire2]

Bonne vacances à toi aussi :) mais moi je ne dékhôlle pas, je vais demander à cee brave ben, de m'aider afin que je finisse pas par m'exploser réellement la tête contre un mur :zen:

[benekire2]

une dernière chose :

Dans ton exo, G c'est toujours l'ensemble des permut ou il est quelconque ( enfin un groupe quelqonque) ? Merci :happy3:

[Ben314]

Bon, j'arrive (j'était en train de faire mon jardin...)

Je suppose que l'exo de nightmare, c'est ça le début :

Quelque chose qui peut t'être utile : On considère l'ensemble avec g donné dans G . Tu peux montrer que cet ensemble est un sous-groupe de G dit monogène

Là, le mieux, c'est vraiment de voir G comme un groupe absolument quelconque, (pas nécéssairement commutatif) dont la loi est notée multiplicativement.

L'idée principale est de voir que, vu que le groupe est fini, cet ensemble va "boucler" au sens ou l'on va forcément au bout d'un moment tomber sur un entier n tel que . Le plus petit entier vérifiant cette égalité est appelé l'ordre de g, qui est alors le cardinal du groupe . (Tout ce qui est dit ici, tu peux le montrer).
Par Lagrange qu'on vient de démontrer, on sait donc que l'ordre de g divise le cardinal de G.

Là, comme Nightmare le précise, il faut supposer en plus que G est de cardinal fini.

Maintenant question pour toi : Combien il y a dans Z/nZ d'éléments (= classes d'élément) inversibles, ie d'éléments m tels qu'il existe p tel que ?
On approche de très près le théorème d'Euler...

Ici, on regarde le cas de Z/nZ (avec ). Muni de la loi + c'est un groupe, mais ici, ce n'est pas la loi + qui nous interesse, mais la loi .
Muni de cette loi, Z/nZ n'est jamais un groupe car n'est jamais inversible (l'élément neutre pour la loi est et fois n'importe quoi ne fait jamais )
Donc la question de Nightmare est : "Quels sont les éléments de Z/nZ qui admettent des inverses pour la loi "
Ensuite, tu pourra montrer que l'ensemble de ces éléments forme un groupe (évidement toujours pour la loi ) et, si ça t'interesse, regarder comment calculer assez simplement le nombre d'éléments.
Tu en déduira alors le théorème dit d'Euler (c'est une généralisation du petit théorème de fermat)

[benekire2]

Donc a la base j'ai G un groupe additif quelconque ( associatif mais pas commutatif)

Alors je comprends pas trop comment je vais trouver n tel que g^n=1 ??

Y a pas un exemple con-con histoire de visualiser ?
merci :happy2:

[Ben314]

"A la base", comme tu dit, le groupe est noté multiplicativement (sinon, g^n ça voudrait rien dire)

Comme exemple, je peut te donner :
Le complexe i du groupe qui est d'ordre 4.
La permutation du groupe des permutations de {1..5} (muni de la loi o) : elle est d'ordre 6.
L'élément du groupe (Z/18Z,+) qui est d'ordre 9.

P.S. :
1) ça veut pas dire grand chose un groupe "additif" : dans un groupe, il y a une loi et on peut la noter à priori comme on veut, mais c'est une notation, c'est tout. En plus, à peu prés tout le monde note '+' la loi d'un groupe uniquement lorsqu'il est commutatif (j'ai pas l'habitude que a+b soit différent de b+a, quelque soit le contexte...) Dans un groupe quelconque (i.e. qu'on connait pas) et pas nécéssairement commutatif, la loi est en général noté '.' ou ou... rien du tout.

2) Essaye de faire les questions dans l'ordre :
G un groupe absolument quelconque dont la loi sera noté multiplicativement.
Pour un g dans G et un n dans , on définit :

Est ce que tu vois pourquoi l'ensemble des (pour g fixé) est un sous groupe de G ?

[benekire2]

Je ne suis pas sur d'avoir compris le troisième exemple :doh: déjà que c'est pas mal abstrait pour moi Z/nZ même si ça représente les congruences modulo n.

donc là c'est mod 18 10={...;-8;10;28...}
et donc en fait ici par exemple si on prend 10 on a 10+10+10...=90=9*18

si j'ai bien compris ... ( ça doit être ça.)


En ce qui concerne le fait que les g^n forment un sous groupe et bien je suis très embêté. Faudrait montrer justement qu'il existe n tel que g^n=1 et que tout élément est inversible.
Pour le premier je dirais qu'il faut prendre n=0 et pour la deuxième condition qu'il faille prendre -n car en effet g^n * g^-n = g^0=1

ce qui devrait suffir a prouver que les g^n forment un sous groupe de G car de plus on vérifie facilement que les g^n appartiennent à G.

[Ben314]

Impecable.
Mes trois "exemples" était là pour bien te montrer qu'en fonction de la loi du groupe, le fait qu'un élément soit d'ordre n s'écrit de façon différente :

Le complexe i du groupe est d'ordre 4 car qui est l'élément neutre du groupe (et, si on met moins de 4 fois , ça ne fait pas )

La permutation du groupe des permutations de {1..5} (muni de la loi o) est d'ordre 6 car qui est l'élément neutre du groupe (et, si on met moins de 6 fois , ça ne fait pas ).

L'élément du groupe (Z/18Z,+) est d'ordre 9 car qui est l'élément neutre du groupe (et, si on met moins de 9 fois , ça ne fait pas ).

Questions suivantes :

a) Si avec fini, montrer qu'il existe au moins un entier tel que .

Le plus petit tel que est appelé l'ordre de dans

b) Montrer que l'ordre de dans est en fait le cardinal du sous-groupe .
En déduire que l'ordre de divise le cardinal de

Remarque : Le cardinal (i.e. le nombre d'élément) d'un groupe fini est en général appellé l'ordre du groupe.
On vient donc de montrer que, dans un groupe fini, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.

Ensuite, tu regardera l'application de ce résultat aux éléments inversible (pour la loi ) de Z/nZ.

[benekire2]

La question b me semble être très directe une fois la a faite, mais pour la a , je vois rien pour le moment, comment commencer ?
(Je sais que le nomre d'éléments de G étant fini joue un grand rôle, mais je vois pas comment l'utiliser ... )

Merci :id:

[Nightmare]

Salut !

Suppose que g^m n'est jamais égal à 1, que dire alors du cardinal de ?

[Ben314]

Perso, j'aurait donné une indic un peu différente :
Est il possible que les g^n (n dans Z) soient tous différents ?
Qu'est ce que cela signifie ?

[Nightmare]

On attend a peu près la même réponse cela dit :lol3:

[benekire2]

salut nightmare !

Les g^n ne sont bien entendu pas tous différents parce que sinon ça voudrait dire que on a réussi a avoir un sous groupe avec une infinité d'éléments dans un groupe fini ...

donc il existe n et m différents tels que g^n=g^m c'est à dire g^(n-m)=1 :zen:

[benekire2]

Pour la question b, reste à voir si c'est "propre" mais j'écrirais bien :

Soit n l'ordre du sous groupe, on a déjà n éléments. g;g²;...;g^n
or g^(n+1)=g ainsi il n'y a que n éléments distincts dans ce sous groupe d'où card(H)=n