[TS] justifier e^(x)-x est strictement positif

[Michel00]

Bonjour,

justifier e^(x)-x est strictement positif

voila je ne sais pas comment le faire "mathématiquement". e^x sera tjrs positif et tendra vers 0 en -infini donc le -(-gros nombre) donnera + et le rendra de manière inévitable positif.

Malheureusement je ne sais pas comment le démontrer :)

Vraiment merci si vous voulez bien m'aider!

[Luc]

Salut,

pour le voir, tu peux étudier les variations de la fonction . En quel point est-elle minimale? Que vaut-elle en ce point? Conclusion?

[Michel00]

merci beaucoup! :)

soit f '=e^(x)-1
donc décroissante sur ]- l'infi 0]
Croissante sur [0 + l'infi[

f(0)=1 je fais un tableau de variation et j'ai toutes les données donc, je montre bien quelle est strictement positive.

C'est bien ça?

Tant qu'il y a quelqu'un de sympathique, on me demande de montrer que x/((e^(x)-x))= 1/[((e^(x))/x)-1]

je suis dessus depuis 20min je n'y arrive pas :(

[Michel00]

j'arrive jusqu'a [x/(e(x))]-1 si il n'y a pas d'erreurs, après je bloque

[Luc]

merci beaucoup!

soit f '=e^(x)-1
donc décroissante sur ]- l'infi 0]
Croissante sur [0 + l'infi[

f(0)=1 je fais un tableau de variation et j'ai toutes les données donc, je montre bien quelle est strictement positive.

C'est bien ça?

Exactement ça!
Plus tard dans l'année, tu verras une preuve encore meilleure de ce résultat. En fait, le graphe de la fonction exponentielle a la propriété d'être toujours au-dessus de sa tangente (on dit que la fonction exponentielle est convexe ). En x=0, sa tangente est la droite d'équation y=1+x. On peut donc en déduire pour tout x!

Tu veux montrer que


Quel est ton problème exactement?

[Michel00]

je m'en souviendrais, et ça simplifie pas mal la vie ^^


et bien c'est tout nouveau pour moi les exponentielles, je ne sais pas vraiment comment m'y prendre. Ca a l'air de vous sembler très naturel comme démonstration?

je fais ça;

1/[((e^(x))/x)-1]= [x/(e^x)]-1

après j'ai essayé de remplacer -1 par -x/x mais je ne tombe pas sur ce qu'il faudrait.

[Luc]

je fais ça;

1/[((e^(x))/x)-1]= [x/(e^x)]-1

Oui mais le seul problème c'est que c'est complètement faux! :id:
Ce que tu es en train de dire, c'est en gros ...

Ca se saurait si c'était vrai, non ?

[Michel00]

je comprend pas, je multiplis par l'inverse, c'est un quotient, non?

[Luc]

J'avoue que moi aussi j'ai du mal à comprendre, avec tout ce parenthésage!
Diviser par x le numérateur et le dénominateur ne répond pas à ta question?

[Michel00]

Oui dsl je ne sais pas écrire sous belle forme.

Mais c'est bien

Oui en effet.. c'est plus rapide. Mais ça m'énerve un peu de ne pas comprendre pourquoi je n'y arrive pas de cette manière.

[Luc]

Parce que si effectivement est vrai, en revanche ou une autre formule du même style est complètement faux!