[TS] Un joli résultat

[benekire2]

Bonjour à tous ,

Suite à un post de Georgeb sur les similitudes, j'ai décidé de mettre un exo sympa auquel tout le monde peut jouer, et donner la plus belle solution ( pour les adeptes de la "belle" géométrie)

Enoncé:

On considère trois cercles C1 C2 et C3 tels qu'ils admettent un point commun I et qu'ils se recoupent deux à deux en A,B et C.

Pour être clair, figure :


La droite d passe par A et coupe C2 en D et C3 en E. Montrer que les droites (CD) et (EB) se coupent en un point F situé sur le cercle C1.

Bon travail :happy3:

[Nightmare]

Salut !

Joli résultat. J'ai griffonné quelques "arcs" sur le dessin et je pense avoir une solution en... 4 lignes environ! Qui dit mieux? :lol3:

:happy3:

[benekire2]

Dans le courant de l'après midi je mettrais un autre du même genre si ça plait :we:

PS: Comment as-tu procéder pour celle-ci ? :id:

[Olympus]

Allez cela va faire le premier exo que je résoud avec de la géo pure

Avec une chasse aux angles :








Donc B, F, I et C sont cocycliques, d'où le résultat

EDIT : ça bug toujours ...
EDIT 2 : voilà c'est corrigé

[benekire2]

Moi c'est le même principe mais en beaucoup plus long ....

[Olympus]

Y a un soucis avec ma première ligne, je l'ai bien mise dans la balise TEX mais le serveur ne veut pas l'interpreter ... dois-je supposer que le mot EDF est filtré ? :ptdr:

[Nightmare]

Olympus a vendu la mèche de la preuve "simple" :happy3: (tu devrais utiliser des angles orientés cela dit)

[Olympus]

Voilà corrigé, le serveur refusait d'interpréter les balises TEX contenant le mot "DEF", j'ai donc mis "FED" à la place .

@Nightmare : euh pourquoi des angles orientés ? la preuve n'est pas complète ? ^^'

[benekire2]

T'aurais dû travailler en angle orienté mais c'est la même chose, cela dit on aurait même pu travailler modulo pi et se simplifier (encore) la vie.

Le truc c'est que cet exercice était une question a part dans un exo sur les similitudes, donc au début j'étais partit sur le fait qu'il existe des similitudes directes s1 transformant C1 en C2 ; s2 transformant C2 en C3 ; s3 transformant C3 en C1 , c'est à dire que s1 o s2 o s3 = Id et je cherchais à transformer mes droites, sans y arriver.

Je poste le suivant dans quelques temps, il y a plusieurs questions, certaines simples, mais qui fournissent des résultats "remarquables".

[Ben314]

Voilà corrigé, le serveur refusait d'interpréter les balises TEX contenant le mot "DEF", j'ai donc mis "FED" à la place .
@Nightmare : euh pourquoi des angles orientés ? la preuve n'est pas complète ? ^^'

Ben disont qu'avec des angles non orientés, c'est pas incomplet, c'est plutôt... faux vu que le théorème "de cocyclicité" n'est valable que pour des angles orientés (à la limite des angles de droites vu que tout est modulo pi, mais surement pas des angles non orientés...)

P.S. à la rigueur, si on avait des information sur l'ordre dans lesquel les 4 points sont sur le cercle, on pourrait s'en sortir, mais ce n'est pas le cas...

[benekire2]

J'avais des lieux de points et des problèmes de constructions, mais je les poste pas parce que d'une les "grands" les connaissent presque tous, du moins les grands classiques. D'autre part, j'aimerais que les exos que je met soient accessibles à un "large" public,

J'ai opté pour quelque chose qu'on trouve assez rarement au lycée, enfin disons que la figure est archi classique, mais les questions un peu moins "usuelles".

Énoncé:

Dans le plan on considère un triangle ABC, non rectangle de sens direct. A l'extérieur de ce triangle on trace les carrés AQPB , ACRS et BUTC de centres respectifs O1 O2 et O3 I désigne le milieu de [BC]
C1 et C2 les cercles circonscrits a ABPQ et ACRS

J'ai bien sûr joint la figure :


1- Montrer que A' le deuxième point d'intersection de C1 et C2 est sur le cercle de diamètre [BC]

2- Montrer que le triangle I O1 O2 est rectangle isocèle.

3- Prouver que les segments [AO3] et [O1 O2]

4- Montrer que les droites (AO3), (BO2) et (CO1) sont concourantes.

J'espère qu'un max de personnes seront intéressés :id:

Indication:
La chasse aux angles fonctionne pour la première

Note:
Bien sûr les questions 2 et 3 sont très simples uniquement avec les complexes ... mais si quelqu'un à juste avec les transfos, ... je la veut bien :zen: