Itégration par substitution

[rogerone]

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider à résoudre cette intégrale .
Soit à chercher l'intégrale indéf ;)y(y²+5)^8dy;)par la méthode de substitution

Je pose u=y²+5
du=u'(y)dy ___________>du=(2y+5)dy

Remplaçons dans l'intégrale de base on aura 1/2;);)u^8 du;) et après que dois-je faire ?

N'avez -vous pas une manières générale à appliquer pour résoudre ce genre de problème


JE vous en remercie



Rogerone

[Ericovitchi]

Si u=y²+5 alors du=2ydy et donc ;)y(y²+5)^8dy =(1/2);) u^8du OK
Après tu intègres. Rappel : une primitive de u^n c'est u^(n+1)/(n+1)

[rogerone]

Si u=y²+5 alors du=2ydy et donc y(y²+5)^8dy =(1/2);) u^8du OK
Après tu intègres. Rappel : une primitive de u^n c'est u^(n+1)/(n+1)

Ok donc je laisse "tomber" le + 5 alors ou alors la réponse est 1/2u^9/9=(y²+5)^9/9 ????

Mais ce que je ne comprends pas c'est la manière générale (comment faire lorsqu'on est dans ce cas-là ? Et qui permettrait d'avoir le bon cheminement à la réponse), en gros qu'elle est la méthode pour réussir l'intégration en suivant la méthode de substitution ? C'est ça qui est flou chez moi. Je sais faire l'intégration par partie sans souci et la méthode par tâtonnement également mais JAMAIS la substitution.

Merci d'avoir répondu à la question précédente et en espérant que vous allez m'éclairer sur ce sujet.

Merci d'avance

[Black Jack]

Avec force détails.

S y.(y²+5)^8 dy

Poser u = y²+5
--> du = 2y dy
y.dy = (1/2) du

y.(y²+5)^8 dy = (1/2) du * u^8

S y.(y²+5)^8 dy = (1/2) * S u^8 du

S y.(y²+5)^8 dy = (1/2) u^9/9

S y.(y²+5)^8 dy = (1/18) u^9

S y.(y²+5)^8 dy = (1/18) (y²+5)^9

F(y) = (1/18) (y²+5)^9 est UNE primitive de f(y) = y.(y²+5)^8

:zen:

[Ericovitchi]

Oui 1/2u^9/9 mais ça donne (y²+5)^9/18

De manière générale, ça s'appelle un changement de variables.
tu as une intégrale ;)f(x)dx et tu pressens que le changement de variable x=u(t) est une bonne idée (c'est là qu'il faut avoir de l'intuition !).

tu fais le changement de variable, si x=u(t) alors dx= u'(t)dt et l'intégrale devient
;)f(u(t)).u'(t)dt et là il faut qu'elle soit plus facile à intégrer que la première.

Exemple : ;) ;)(1-x²)dx, tu te dis que si x=sin(t) alors ça va faire un 1-sin²(t)=cos²(t) et ça va faire sauter la racine. tu en déduis dx=cos(t)dt et
l'intégrale devient ;)cos²(t)dt qui effectivement est plus simple à trouver (en écrivant cos²(t)=(1+cos(2t))/2 )

[rogerone]

Avec force détails.

S y.(y²+5)^8 dy

Poser u = y²+5
--> du = 2y dy
y.dy = (1/2) du

y.(y²+5)^8 dy = (1/2) du * u^8

S y.(y²+5)^8 dy = (1/2) * S u^8 du

S y.(y²+5)^8 dy = (1/2) u^9/9

S y.(y²+5)^8 dy = (1/18) u^9

S y.(y²+5)^8 dy = (1/18) (y²+5)^9

F(y) = (1/18) (y²+5)^9 est UNE primitive de f(y) = y.(y²+5)^8

:zen:

UN grand merci ,je m'y retrouve maintenant

[rogerone]

Oui 1/2u^9/9 mais ça donne (y²+5)^9/18

De manière générale, ça s'appelle un changement de variables.
tu as une intégrale f(x)dx et tu pressens que le changement de variable x=u(t) est une bonne idée (c'est là qu'il faut avoir de l'intuition !).

tu fais le changement de variable, si x=u(t) alors dx= u'(t)dt et l'intégrale devient
f(u(t)).u'(t)dt et là il faut qu'elle soit plus facile à intégrer que la première.

Exemple : (1-x²)dx, tu te dis que si x=sin(t) alors ça va faire un 1-sin²(t)=cos²(t) et ça va faire sauter la racine. tu en déduis dx=cos(t)dt et
l'intégrale devient cos²(t)dt qui effectivement est plus simple à trouver (en écrivant cos²(t)=(1+cos(2t))/2 )

OUI maintenant cela me parait plus clair mais il faut souvent avoir du flair