Issue de Cardan généralisé mais...

[vladi]

Bonjour

je ne sais pas comment montrer ce qui est écrit à la fin de l'énoncé

je ne sais même pas si c'est exact (il ne s'agit pas d'un exo)

en plus de ça je ne sais pas quel est le niveau (dans le doute je place ça niveau lycée)

_____

Énoncé

On considère est un polynôme de degré

est la réduite de

par translation selon de sorte qu'en notant avec

est une racine de alors est une racine de

On pose tel que

et

où et sont les deux racines de


On note et avec tels que

resp. sont les racines de resp.

On pose l'ensemble

et enfin on considère une application définie par



On sait que (la démo est celle de Cardan généralisé)



où on rappelle ici que est une racine de

Cependant là où je ne sais pas comment montrer cela (et en plus si c'est possible)

c'est montrer que

[vladi]

bon oublions ça

je vais dormir et réfléchir (j'ai eu tord de demander alors que je manque de sommeil : je ne suis pas certain que je trouverai mais je crois que je suis trop pressé et ça c'est pas bon)

le manque de sommeil m'empêche de voir des trucs évidents et ça se trouve c'est le cas ici

[Sa Majesté]

Tu as raison, la nuit porte conseil

[vladi]

édit (erreur j'avais placé des quantificateurs universels )

...oui effectivement hier soir je n'ai pas vu que je pouvais développer

cette dernière formule peut se simplifier

effectivement comme de toute façon il faut vérifier



on peut donc considérer deux équations du second degré

dire que cette dernière formule est vraie revient à dire que :

pour tout fixé donc pour tout fixé

on arrive toujours à trouver un qui vérifie l'égalité

démontrer cela c'est quand même plus facile que de démontrer la formule initiale

[vladi]

...du coup cela revient à démontrer qu'en posant (sous condition que les modules et )

avec et sont les deux racines de

et en étendant par symétrie la formule initiale qu'en posant

avec et sont les deux racines de

alors pour tout il existe tel que est une racine de

et pour tout il existe tel que est une racine de

où et sont les deux racines de

ce qui simplifie vachement la formule initiale que l'on doit démontrer

bien que je n'ai pas encore la vision finale de la démo je pense qu'il ne reste plus grand chose à faire pour conclure (mais je vais me coucher car j'ai sommeil et c'est pour ça que je ne vois pas encore la finalité pour conclure la démo )

[vladi]

...là ce matin je vois moins vaguement comment le faire mais (tant que je n'ai pas terminé c'est au conditionnel)

j'ai le RER à 6:00 du coup je ne pourrais pas terminer ce matin

bref!!

toujours dans la condition des modules et

il fallait aussi démontrer que les modules

et pour tout alors les modules et

ça va vite puisque vu que

et les sont les racines de

et les sont les racine de

bon à partir de là on peut encore écrire autrement la formulation que l'on doit démontrer

si la formule (avec son extention par symétrie) est vraie alors



alors est une racine de

de même

alors est une racine de

effectivement puisque

et comme on a toujours et



idem même chose pour arriver à

à partir de là ça devient plus chiant par contre avec les notations notamment

ci-dessous par exemple la notation la lettre n'est pas un indice

(elle fait partie du nom de la valeur que l'on définie)

par contre est un indice

idem même remarque avec , , ,

et avec , , , ,

bref on sait que (on le sait vu que c'est ce qui découle de la racine d'un polynôme de degré deux à coefficients complexes donc ça va le polynôme en question est écrit à la fin)

donc on sait qu'en posant





pour lorsque sinon

bref est le signe de

et en posant









alors les et selon donc

sont les deux racines (pour chaque donné) du polynôme



on pose idem





pour lorsque sinon

et en posant









alors les et selon donc

sont les deux racines (pour chaque donné) du polynôme



À partir de là je vois mieux comment conclure (mais bon c'est encore vague mais moins vague qu'à minuit)

mais là il est l'heure de prendre le RER (je verrais ce-soir)

[vladi]

c'est idiot la notation que j'ai fait ce matin … j'avais qu'à poser directement l'écriture des

pour le reste pour l'instant et vu comme ça vaguement ça m'a possible de faire une démo avec une écriture explicite des i et des j qui vérifient une racine

[vladi]

...et en plus de ça k est dans {1,2} pas dans {1,2,3}

bon alors en le refaisant à partir de là :

la formule (avec son extention par symétrie) revient à dire

alors est une racine de

de même alors est une racine de

en posant selon





pour lorsque sinon









alors et

sont les deux racines (pour chaque donné) du polynôme



et en posant





pour lorsque sinon










alors et

sont les deux racines (pour chaque donné) du polynôme



bon après c'est limite chiant question notation mais pas trop non plus (je m'emmerde pas avec l'imaginaire i vu que écrit comme ça il n'apparait pas et me laisse cette lettre pour l'écriture d'un indice

pour le reste je ne sais pas encore si je vais arriver à la faire cette démo (et si elle est faisable ) mais bon ça m'a l'air plus clair

[vladi]

c'est ok ça marche

du post précédent il vient que les et et s'écrivent facilement sans écriture exponentielle (donc sans arguments) à partir de )

(on a besoin de ça pour conclure )

on a donc











et là il est plus facile de vérifier (sans s'emmerder avec des calculs d'arguments) ce que l'on cherche à vérifier et qui revient à dire



est racine de

ce polynôme du second degré et dont les racines sont et décrit dans le premier post

[vladi]

...du coup dans le cas des modules et il suffit de prendre n'importe

laquelle des trois racines de

pour déduire le qui convient pour pouvoir avoir le

qui vérifie est une des trois racines selon de