Inversion

[goudou]

Bonjour à tous !
Je m'intéresse au théorème de Ptolémée dont l'énoncé est " un quadrilatère convexe est inscriptible, si et seulement si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales." soit pour un quadrilatère ABCD " AB × CD + BC × DA = AC × BD."

La démonstration de la réciproque est très intéressante car elle utilise l'inversion des pôles (qu'on n'étudie plus en terminale).
" L'inversion i(I, k) de pôle I et de rapport k est la transformation du plan qui à un point M, distinct de I, fait correspondre le point M’ de la droite (IM) tel que vect(IM).vect(IM') = k.
Entre un couple de points (M, N) et son image (M’, N’), on a : M’N’ = (|k|MN)/(IM.IN)
Par une inversion, l'image d'une droite ne passant par le pôle est un cercle, passant par le pôle, privé du pôle."

Cependant je n'arrive pas à comprendre dans la démonstration de la réciproque ...
" Soit quatre points A, B, C et D tels que AB × CD + BC × DA = AC × BD.
En divisant cette égalité par DA × DB × DC on a : AB/(DA.DB)+BC/(DB.DC)=AC/(DA.DC)
Une inversion de pôle D transforme A en A’, B en B’ et C en C’.
Le calcul des distances entre les points transformés A’B’ = k AB/(DA.DB), …
entraîne, grâce à la formule précédente : A’B’ + B’C’ = A’C’.

Les trois points A’, B’, C’ sont alignés sur une droite (d). Les images réciproques de points de la droite (d) sont situées sur un cercle (c) passant par D. Les points A, B, C et D sont donc cocycliques."

... Comment peut-on conclure que les points A',B' et C' sont alignés ?
Si quelqu'un peut m'éclairer :hein:

( Si vous voulez plus d'images et les démonstrations : http://pagesperso-orange.fr/debart/geoplan/config_cercle_classique.html#ch3)

Merci !