Inverse Pythagorean Theorem

[ortollj]

Bonjour
Ouh la la !, il m'a fallu attendre mes 60 ans pour apprendre ce theorem.
Inverse Pythagorean Theorem

merci a 3Blue1Brown et
MathoLoger

[Pseuda]

Bonjour,

Bof, c'est un classique de 1ère d'il y a 20 ans.

[pascal16]

3blue1brown : j'adore
Je me suis fait récemment la série sur la transformée de Fourier

[Pseuda]

Mais c'est une explication de la convergence de la série des inverses carrés à l'aide de ce théorème qui dit que dans un triangle ABC rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A, 1/AB²+1/AC²=1/AH² ?

Bravo !!! (je me demandais si cela existait).

[Lostounet]

J'ai beaucoup aimé la vidéo que j'ai regardée ce matin. Belle interprétation physique!

[Pseuda]

A ce propos, ce n'est que très récemment que j'ai découvert qu'il existait une démonstration géométrique de l'aire d'un cercle (à partir de la définition de pi=1/2 périmètre du cercle de rayon 1), due à Archimède. Je croyais qu'elle avait été pressentie, puis démontrée à l'aide des intégrales.

En voici une démonstration :

http://therese.eveilleau.pagesperso-ora ... rliton.htm

[Ben314]

Salut,
J'aime (vraiment pas...) les maths sous forme de vidéo, mais je viens de regarder celle là 3Blue1Brown sur la somme des 1/n^2 : la preuve est marrante, mais elle passe complètement sous silence un point plus que problématique : comment justifier que la somme des carré des inverses des distances aux points du cercle tend vers la somme des carré des inverses des distances aux points de la droite ?
Autant le fait que, si on se limite à une "petite fenêtre", l'arc de cercle (dont le rayon devient de plus en plus grand) devient visuellement de plus en proche d'un segment de droite. Autant il est tout aussi clair que la "petite fenêtre" que l'on regarde contient une proportion de plus en plus faible du cercle entier donc contient une proportion de plus en plus faible des points qui nous intéressent. Bref, même sans rentrer dans les détail des calculs (avec de la vrai analyse), ça sent l'arnaque complet vu qu'on ne tient compte que d'une toute petite portion des points du cercles (ceux dans la fenêtre) et qu'il n'y a pas le début de la moindre explication concernant le "pourquoi" les autres points (de plus en plus nombreux en proportion) comptent pour du beurre (ce qui d'ailleurs, que ce soit au niveau physique ou mathématique est loin d'être une trivialité...)

[ortollj]

Est ce que la video tient plus la route (ou pas) avec cette explication ci dessous ?
A circle with infinite radius is a line

[Ben314]

Est ce que la video tient plus la route (ou pas) avec cette explication ci dessous ?
A circle with infinite radius is a line

Là, c'est le "pire du pire" : déjà, tout ceux qui conaissent la définition de ce qu'est un "cercle de centre A et de rayon R" savent que là dedans, A, ça désigne un point du plan et R un réel (souvent supposé positif). Or, "l'infini", c'est un concept totalement abstrait et bien difficile à définir proprement (*), mais si y'a un truc de sûr et certain, c'est que c'est pas un réel (positif).
Donc une expression du style "un cercle de rayon infini", ben y'a qu'un et un seul truc à en dire : ça a pas le moindre sens.
Et de plus, si on le prend au sens plus ou moins naïf comme disant qu'un cercle avec un rayon super super grand, c'est plus ou moins la même chose qu'une droite, ça reste du grand n'importe quoi si on précise pas en quel sens c'est "plus ou moins" une droite. Par exemple, un cercle, aussi grand soit il, si j'enlève un point quelconque, je peut continuer à aller de n'importe où sur le cercle à n'importe où en restant sur le cercle. Alors qu'une droite, si j'enlève un point, ben je peut plus aller de n'importe où à n'importe où en restant sur la droite.
Donc concernant cette propriété (si j'enlève un point il reste quoi ?), tu pourra bien prendre un cercle aussi grand que tu veut, il ne sera JAMAIS à peu prés égal à une droite. Et des "propriétés" du même acabit, à savoir vrai sur un cercle quelque soit son rayon mais fausse sur une droite, je peut t'en trouver à la pelle. Bref, si tu précise pas en quel sens ton cercle est "à peu prés égal" à la droite, tout ce que tu va raconter, c'est un tissus de conneries sans le moindre intérêt (et le plus souvent complètement aberrantes pour un matheux)

(*) Et surtout, en math., la façon dont on définit "l'infini" dépend grandement du domaine dans lequel on travaille : l'infini des analystes (le "x tend vers l'infini") n'a quasiment aucun rapport avec les différents infinis utilisés dans la théorie des cardinaux par exemple.

[Pseuda]

Bonsoir,

J'ai regardé la vidéo. Je n'aime pas trop cette histoire de luminosité. Pourquoi ne pas parler directement de l'inverse des carrés des distances, dont la somme reste constante à chaque étape ?

Sinon, je ne suis pas trop d'accord avec toi @Ben314. Cette histoire d'ouvrir le cercle à la fin (et d'en faire une droite), c'est juste une image pour montrer qu'avec le rayon des cercles qui augmente, les cordes (sur lesquelles est fait le calcul) finissent par se confondre avec les arcs de cercles (qui contiennent les distances qui vont de 2 en 2), et qu'à la limite (rayon infini), les longueurs des arcs = celles des cordes. On pourrait s'en passer. La seule chose quand même, c'est que pour les points proches du point de mire, cela paraît plus évident que pour ceux qui en sont éloignés (dont le poids pèse moins). Mais on se doute, qu'à la limite, cette constatation est valable même pour les points éloignés aussi (bien qu'un petit doute subsiste sur la somme).

Jolie trouvaille ! (mais il faudrait une démonstration mathématique pour être pleinement convaincu).

[Ben314]

...pour montrer qu'avec le rayon des cercles qui augmente, les cordes (sur lesquelles est fait le calcul) finissent par se confondre avec les arcs de cercles (qui contiennent les distances qui vont de 2 en 2), et qu'à la limite (rayon infini), les longueurs des arcs = celles des cordes...

Ben justement non : fait un malheureux essai avec par exemple géogébra et tu verra que seule une toute petite proportion des cordes deviennent parallèle à cette fameuse "droite limite" et que la grande majorité d'entre elle continuent à "arriver au point d'origine" en faisant un angle conséquent avec la fameuse droite.
Bref, il y a uniquement une "toute petite proportion" des points (de plus en plus nombreux) du cercle qui effectivement s’agglutinent sur la droite mais la grande majorité ne "agglutine" sur rien du tout.
Ce qui fait que ça marche quand même, c'est que quand on somme cette quantité (de plus en plus grande) d'inverse des carrés des distance, la somme devient de plus en plus petite du fait que le nombre de termes est en O(n) alors que ce qu'on somme est en O(1/n²).

Et ce que j'aimerais bien qu'on m'explique, c'est à quel moment dans la vidéo on est sensé comprendre le POURQUOI dans le calcul de la somme (des carrés des inverses des distances) on peut alègrement négliger la GRANDE MAJORITE des points situés sur le (grand) cercles pour ne retenir que la faible proportion qui tendent effectivement vers une droite.
Si j'avais plus de courage, je me fendrait bien d'un dessin : si on prend un cercle aussi grand qu'on veut tangent à une droite donnée, quitte à reculer, on peut systématiquement le voir "toujours à la même échelle" et tout ce que va faire les "agrandissement du cercle", c'est d'augmenter le nombre de cordes qu'on va tracer du point de tangence droite/cercle à différents points du cercle. Et on aura quoi comme "effet visuel" ? Ben absolument pas que les cordes sont "de plus en plus proches de la droite", mais tout le contraire, à savoir qu'elles ont de plus en plus tendance à "remplir tout le cercle". Et avec ça comme vision, j'aimerais bien qu'on m'explique où est le coté "intuitif" du fait que dans le calcul de la somme, on ne va considérer que les cordes très proches de la droite.

[Pseuda]

Mais les points qui restent sur le cercle, ils comptent quand même dans la somme, pour la longueur de la corde au lieu de la longueur de l'arc. Mais avec le rayon qui grandit, la longueur des cordes augmente pour atteindre celle des arcs au fur et à mesure. (Et les points qui restent sur le cercle pèse très peu (inverse carré) par rapport à ceux qui atteignent la droite (et d'un poids qui grandit au fur et à mesure)). Donc tout va bien.

A mon avis, si on augmente un cercle posé sur une droite, on ne verra rien, le cercle paraîtra toujours aussi rond. Mais si on inverse l'image, le cercle ne bouge pas, et les points qui sont dessus doublent à chaque pas, à égale distance les uns des autres, il y en aura toujours plus (et ceux qui pèsent le plus), qui seront englobés dans la droite.

[Pseuda]

Bonjour,

En tout cas, merci à ortollj pour ce lien ! Perso j'avais toujours imaginé que le lien entre les inverses carrés et pi se faisait sur l'aire du cercle (certainement à cause du carré de pi), et ici le lien est fait sur le périmètre. Mais c'est vrai (d'accord avec Ben314), ce n'est pas complétement convaincant à 100%.

Les cordes et les points qui doublent à chaque pas ne pourraient-elles pas finir remplir l'aire du cercle ou d'une portion du cercle ramené à sa taille initiale (vague idée qui permettrait de s'affranchir des arcs de cercle) ?

[Ben314]

Pour que les truc soient clairs concernant le "où" ça me pose problème, je peut parfaitement l'écrire mathématiquement :
Pour un donné, on considère le cercle de circonférence tangent au point à l'axe des et les points du cercle situés aux abscisses curvilignes .
Ce qu'affirme la vidéo, c'est que tend lorsque tend vers l'infini vers avec, à mon sens (*) comme seul argument le fait que, pour fixé la distance de à tend vers lorsque tend vers l'infini.
Et j'espère que tout ceux qui ont fait ne serait-ce qu'un tout petit peu de math dans leur vie savent qu'un tel argument (de convergence simple) est loin d'être suffisant pour conclure que tend vers (et les cours sur la C.V. simple / C.V. uniforme fourmillent de contre exemple très simples montrant que c'est faux).
Et là où on voit que c'est tout sauf trivial, c'est que si on fixe un entier K>0 et qu'on coupe la somme en deux en séparant les terme où |k|<K et les autres et qu'on cherche à montrer que la somme "des autres" est négligeable, si on y va "au plus simple", tout ce qu'on peut dire, c'est que pour |k|>K la distance de O à va être plus grande que K (à un chouïa près) donc qui est effectivement "très petit" sauf que des termes k impairs tels que |k|>K, il y en a grosso modo et que le produit lui, il n'est pas du tout "très petit".
D'ailleurs, ça m’intéresserait même plus que beaucoup de voir si quelqu'un sur le site trouve un argument permettant de réellement montrer que tend vers .

En bref et en résumé, plus j'y réfléchi, plus ça me semble être franchement "du grand n'importe quoi" cette vidéo tellement c'est pas clair du tout de chez pas clair du tout que la somme tend vers .

(*) Si quelque'un voit un autre argument à un moment donné dans la vidéo, merci de me le signaler...

P.S. Et s'il y en a que ça intéresse, cette histoire des "lumières situées loin qui comptent pour du beurre dans le calcul", ça me fait plus que beaucoup penser au paradoxe de la nuit noire (datant d'au moins le XVIII em siècle) conduisant à se demander pourquoi le ciel nocturne n'est pas uniformément éclairé :
Les deux différences avec le cas exposé dans la vidéo, c'est que :
1) On place plutôt les lumières sur des sphère et pas sur un cercle.
2) Pas de bol, dans ce cas là, les lumières "super loin" ne comptent absolument pas "pour du beurre" dans le calcul de la somme mais comptent exactement de la même façon que celle proche (elles éclairent moins, mais sont bien plus nombreuses).

[Ben314]

Et en (re)regardant la vidéo, j'ai même l'impression que c'est on ne peut plus sciemment que l'auteur cherche à entuber le client : vers le milieu de la vidéo (12' environ), sur les différents dessins, l'auteur trace les différents segments reliant O aux points ce qui semble évidement pertinent vu que c'est la somme des inverse des carrés des longueurs de ces segments qui nous intéressent.
Sauf que, comme par hasard, à la 14em minute, c'est à dire juste avant de faire "grossir" son cercle, là, les segments en question disparaissent et à mon avis, la seule et unique raison, ben c'est que s'il les avait tracé sur le dessin de 14'05'' où le cercle est "presque une droite", ben des segments il en aurait eu des tonnes "partant vers le haut", et il aurait eu bien plus de mal à faire gober à l'auditoire que sa somme tendait vers la somme des 1/k² (k impair) vu qu'il serait apparu on ne peut plus clairement qu'il négligeait une immense partie des segments du dessin.

[Pseuda]

Bonsoir,

Ce que tu appelles (la somme des inverses des carrés des cordes, qui tendrait vers ), dans la vidéo, si j'ai bien compris, c'est une constante égale à indépendante de , la même à chaque étape.

[Ben314]

Ce que tu appelles (la somme des inverses des carrés des cordes, qui tendrait vers ), dans la vidéo, si j'ai bien compris, c'est une constante égale à indépendante de , la même à chaque étape.

Oui, mais je vois pas franchement en quoi ça joue concernant le fait que Sn tend vers S. Tout ce que ça permet de dire, c'est que Sn est évidement convergente (vers Pi/4), mais il me semble bien que la conclusion de la vidéo, c'est bien que S = Pi/4 et pas que Sn = Pi/4, non ?

Bref, ce que démontre (très proprement) la vidéo, c'est que, est constant égal à Pi/4.
Mais ce qu'elle affirme aussi, c'est que, lorsque n tend vers l'infini, tend vers .
Et perso., tout ce que je sais, c'est que parmi mes étudiants en "C.V. simple / C.V. uniforme / Suites / Séries / Intégrale", ben je pense pas qu'il y en ait ne serait-ce qu'un seul capable de le justifier (sauf erreur, pour le faire "facilement", il faut au minimum de la C.V. dominée et du Lebesgue. . .)


Et pour ceux qui n'ont jamais vu ce type de truc, j'en profite pour donner un exemple où ça marche pas, histoire de bien montrer que c'est pas la peine d'aller chercher des trucs archi bisconus pour voir que l'argumentaire déconne complètement :
La question est de savoir si, quand on a une somme du type où, pour chaque fixé, tend vers un certain lorsque n->oo est ce que forcément la suite tend vers ?
Et pour montrer que c'est faux, ben il suffit de prendre pour tout et tout : On a qui est évidement égal à 1 quelque soit (donc constant comme le de la vidéo).
Sauf que, quelque soit , tend vers lorsque n->oo et il est bien clair que (constante égale à 1) ne tend pas vers .
Et je termine par une question : est-ce qu'il faut vraiment avoir un BAC + 10 000 pour comprendre cet exemple :
1 = 1/n + 1/n + 1/n + . . . + 1/n (n fois) or 1/n tend vers 0 lorsque n->oo donc 1 = 0 + 0 + 0 + . . . = 0
(parce que, à mon sens, c'est exactement ça qui est affirmé dans la vidéo)

[Pseuda]

Bonjour,

Je n'ai pas beaucoup de temps mais ce problème me tient à coeur. Je comprends tout ce que tu écris, mais la convergence uniforme est une condition suffisante, non nécessaire, pour inverser la limite et la somme, et pouvoir faire la somme. En plus, c'est un fait que la somme des inverses carrés des cordes étant égale à la constante pi²/4, et que la somme des inverses carrés impairs (égaux à la longueur des arcs) tendant vers la même constante pi²/4 (on le sait par l'analyse), on doit pouvoir en déduire que l'une tend vers l'autre.

En reprenant ta notation, j'obtiens que : l'arc intercepté par la corde a pour longueur : .

Il s'agit donc de montrer que : = .

On sait que , . Si on veut inverser la somme et la limite, on ne peut déjà pas dire que : pour tout quand tend vers l'infini, car ne tend pas vers 0 (est juste bornée) quand n tend vers l'infini. J'ai du mal.

Au final, je ne comprends pas très bien ton propos : tu crois que la démonstration de la vidéo est fausse, ou seulement mal justifiée ?

[Ben314]

Pour calculer la limite de , je ne vois rien d'immédiat dans les théorèmes connus...

Tout dépend où tu place le "connu", mais pour calculer partant du fait que les limites quand n->oo des trucs qu'on somme sont connus pour k fixé, ben c'est très exactement un problème de permutation limite/somme, c'est à dire un problème de permutation limite/intégrale avec la mesure de comptage.

Bref, tu écrit que où c'est l'ensemble des entiers (relatifs) impairs, c'est la mesure de comptage sur et est définie par si et sinon.
Ensuite, le fait que pour fixé , ben ça veut dire que la suite de fonction converge simplement vers la fonction .
Et bien sûr, arrivé à ce point là, pour en déduire que la limite des , c'est , ben LE théorème qui marche bien, c'est évidement le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Et c'est pas super dur de montrer qu'il s'applique vu que pour k fixé, les sont nuls tant que , puis ensuite c'est décroissant (évident sur un dessin) donc on a super facilement le sup (sur les n) g(k) des et on vérifie facilement que g est intégrable pour (i.e. que la somme des g(k) est C.V.)

Mais bon, autant l'argumentaire est assez évident pour quelqu'un qui connaît la théorie de Lebesgue, autant pour un néophyte, le moins qu'on puisse dire, c'est que c'est tout sauf du hautement trivial ce truc là (faire comprendre le théorème de convergence dominé à un néophyte, je pense que c'est pas gagné...)
Et sinon, à mon avis, si on veut rester à un niveau en dessous de la théorie de Lebesgue, ben ça va être chaud de chez chaud de justifier la permutation limite/intégrale (on doit y arriver, mais c'est le type de truc où il faut "couper" le en des trucs bizarre du style les k tels que d'un coté et les autres k (qui vont compter pour du beurre) de l'autre.

[Pseuda]

Bonjour,

Cela veut dire au moins qu'il t'en reste (des cheveux sur la tête) malgré tes étudiants qui te donnent du fil à retordre. (je plaisante). Trêve de plaisanteries, ça y est, j'y suis. C'est effectivement plus simple de faire le calcul dans ce sens-là : , depuis les arcs pour trouver les cordes (que le contraire). Et ok pour la limite pour un k donné quand n tend vers l'infini (ce qui est quand même bizarre a priori de figer k parmi n qui tend vers l'infini, mais pourquoi pas).

Par contre, pour obtenir le résultat, il faut calculer . J'y reviendrai.