Intro aux équations différentielles [Term S]

[Marillion]

Salut à tous:

Celà fait un petit moment que je réfléchis sur ce problème proposant d'étudier une équation différentielle simple.
Voici l'énoncé de l'exercice:

On considère une fonction y définie sur l'intervalle I=[0;1,5] qui vérifie y(0)=0 et qui est solution de l'équation différentielle (E):y'=1+y².

1) Tracer la courbe représentative de la fonction y sur I. (pas de 0,1).

Pour cette question, pas de difficultés, j'ai simplement appliqué la méthode d'Euler.

2) Soit f une solution de (E). Déterminer la condition que doit vérifier le réel k pour que la fonction g dérivable sur I et définie par g(x)=kf(x) pour tout x de I soit solution de (E).

C'est sur cette question que je suis bloquée. En fait, je ne sais pas par où commencer. Je suis gêné par le fait que f(0)=0.

3) En déduire que, si elle existe, la fonction y solution de (E) qui vérifie y(0)=0 est unique.

N'ayant pas résolu la question 2 , je n'ai pu faire aucune déduction. J'attends donc quelques pistes.

4) Vérifier que la fonction tangente est solution de (E) et satifait la condition y(0)=0. Conclure.

tan(0)=0 et tan'(x)=1+tan²x semble répondre à cette question.

Merci d'avance pour vos conseils...

[Chimerade]

Salut à tous:

Celà fait un petit moment que je réfléchis sur ce problème proposant d'étudier une équation différentielle simple.
Voici l'énoncé de l'exercice:

On considère une fonction y définie sur l'intervalle I=[0;1,5] qui vérifie y(0)=0 et qui est solution de l'équation différentielle (E):y'=1+y².

1) Tracer la courbe représentative de la fonction y sur I. (pas de 0,1).

Pour cette question, pas de difficultés, j'ai simplement appliqué la méthode d'Euler.

2) Soit f une solution de (E). Déterminer la condition que doit vérifier le réel k pour que la fonction g dérivable sur I et définie par g(x)=kf(x) pour tout x de I soit solution de (E).

C'est sur cette question que je suis bloquée. En fait, je ne sais pas par où commencer. Je suis gêné par le fait que f(0)=0.

3) En déduire que, si elle existe, la fonction y solution de (E) qui vérifie y(0)=0 est unique.

N'ayant pas résolu la question 2 , je n'ai pu faire aucune déduction. J'attends donc quelques pistes.

4) Vérifier que la fonction tangente est solution de (E) et satifait la condition y(0)=0. Conclure.

tan(0)=0 et tan'(x)=1+tan²x semble répondre à cette question.

Merci d'avance pour vos conseils...

Tu n'as qu'à exprimer que g(x) vérifie l'équation et la condition initiale.
f '(x)=1+f(x)²
g(x)=kf(x)
g'(x)=k*f '(x)

Pour que g'(x) soit égal à 1+g(x)² il faut et il suffit que
soit : k*f '(x) = 1+k²f(x)²
soit encore : k*(1+f(x)²) = 1+k²f(x)²
(k-1) = (k²-k)f(x)²
(k-1) = k(k-1)f(x)²
Puisque f(x) ne peut à l'évidence être constante, pour qu'il en soit ainsi, il faut que k(k-1) soit nul, et que (k-1) soit nul. Ceci impose k=1.

La question 3 est moins évidente... On sait que si g(x)=kf(x) et g vérifie les conditions, alors k=1. Mais on ne sait pas s'il existe d'autres sortes de fonctions vérifiant l'équation ...

[LN1]

Bonjour,

la condition y(0) = 0 ne pose pas de problème: si f est solution de (E) alors f(0) = 0 donc kf(0) = 0 donc g(0) = 0

c'est l'autre condition qui pose problème : écris que g'(x) = 1 + g²(x)
Remplace en sachant que g = kf
remplace ensuite f'(x) par 1 + f²(x)
et regarde la condition sur k que tu obtiens (il faudra utiliser le fait que f n'est pas constant)

Pour la question 3) tu ne peux rien déduire. Seulement que si f est solution, dans la famille des fonctions kf (avec k constante), elle est la seule.
Tu ne peux rien en déduire sur les fonctions qui ne s'écrivent pas kf (question mal posée)

[Marillion]

Personne n'aurait un élément de réponse pour la question 3 de l'exo ?

Merci encore...