Intervalles et encadrements

[Sarah26]

Bonjour,
Étant en première S, la notion d'intervalles et encadrements est pour moi acquise. Seulement, je me pose quelques questions qui remettent en question le raisonnement logique que j'avais jusque là.

Prenons un exemple :
Si x est compris entre 4 et 9, x appartient à l’intervalle [4 ;9] mais ne peut on pas dire du coup que x appartient à R puisque l’intervalle [4 ;9] appartient à R ?

Si j'admets ce raisonnement, cela remet tout en question pour moi, car si du coup je dis que x appartient à R, ça pourrait laisse entendre que x est compris entre-∞ et +∞. En effet dans plusieurs exercices quand l'on nous demande de traduire que x appartient à une certaine intervalle par une inégalité, les même bornes s'imposent.

Je ne sais pas si je suis claire, si vous voyez là ou je veux en venir, j'aimerais juste votre avis.
Merci.

[tomtom]

Bonjour Sarah,

Donc si j'ai bien compris t'as question. Je prends un exemple.

U<V et V définie sur [0;+ infinity[ et U définie sur R alors la il n'y a pas de problème.

Dans le cas où(autre example):

U<V et V définie sur ]- infinity;0[

Alors U<V => U <0
dans ce cas U <0 donc U appartient à un ensemble ne comprenant pas [0;+infinity[

Je ne si pas si j'ai répondu à t'as question. j'espères.^^

[Sarah26]

Bonjour Sarah,

Donc si j'ai bien compris t'as question. Je prends un exemple.

U<V et V définie sur [0;+ infinity[ et U définie sur R alors la il n'y a pas de problème.

Dans le cas où(autre example):

U<V et V définie sur ]- infinity;0[

Alors U<V => U <0
dans ce cas U <0 donc U appartient à un ensemble ne comprenant pas [0;+infinity[

Je ne si pas si j'ai répondu à t'as question. j'espères.^^

Bonjour,

Merci pour ces deux exemples. En fait là ce que je ne comprends pas, c'est que dans le deuxième exemple l'intervalle [0;+infinity[ est un sous ensemble des Réels, du coup ne pouvons nous pas dire que U appartient aussi aux réels ? Je comprends bien qu'il est forcément inférieur à 0 mais puisque les négatifs sont des réels quand même....

[titine]

Oui, bien sûr tu peux toujours dire d'un nombre que c'est un réel ! Pour le moment tous les nombres que tu rencontres sont des réels.

Il est Grenoblois.
Il est donc aussi Isèrois (Grenoble est dans l'Isère)
Il est aussi Rhône Alpin (l'Isère est dans la région Rhône Alpes)
Il est aussi Français.
Et Européen
Et un Terrien !

Simplement le fait qu'il soit Grenoblois et plus précis et permettra mieux de le localiser.

[tomtom]

Salut,

Dans l'exemple 2, L'intervalle de U a un sous ensemble de R.
Si on dit que U appartient à R, il faut que U puisse prendre toute les valeurs de R sans condition et donc que U puisse être supérieur à 0 ce qui n'est pas possible.

En revanche on peut dire l'ensemble U est un sous ensemble de R donc U est un R.



Autre exemple,
soit N les entier naturels et I définie sur N.

I est un sous ensemble de R. Mais on ne peut pas dire que I est définie sur R, car cela impliquerai que l'on puisse faire l'équation:

Soit f la fonction définie sur I par f(x)=2x

2x=1

x=1/2

En revanche R est définie sur N.

Je ne sais pas si c'est clair. j'espères


C'est vraie que c'est une question à ce poser, et vous avez bien raison de vous la poser. Je vous souhaites de continuer à douter

[Sarah26]

Oui, bien sûr tu peux toujours dire d'un nombre que c'est un réel ! Pour le moment tous les nombres que tu rencontres sont des réels.

Il est Grenoblois.
Il est donc aussi Isèrois (Grenoble est dans l'Isère)
Il est aussi Rhône Alpin (l'Isère est dans la région Rhône Alpes)
Il est aussi Français.
Et Européen
Et un Terrien !

Simplement le fait qu'il soit Grenoblois et plus précis et permettra mieux de le localiser.

D'accord merci

[mathelot]

Si on dit que U appartient à R, il faut que U puisse prendre toute les valeurs de R sans condition

c'est faux

[Sarah26]

Salut,

Dans l'exemple 2, L'intervalle de U a un sous ensemble de R.
Si on dit que U appartient à R, il faut que U puisse prendre toute les valeurs de R sans condition et donc que U puisse être supérieur à 0 ce qui n'est pas possible.

En revanche on peut dire l'ensemble U est un sous ensemble de R donc U est un R.



Autre exemple,
soit N les entier naturels et I définie sur N.

I est un sous ensemble de R. Mais on ne peut pas dire que I est définie sur R, car cela impliquerai que l'on puisse faire l'équation:

Soit f la fonction définie sur I par f(x)=2x

2x=1

x=1/2

En revanche R est définie sur N.

Je ne sais pas si c'est clair. j'espères


C'est vraie que c'est une question à ce poser, et vous avez bien raison de vous la poser. Je vous souhaites de continuer à douter

Merci beaucoup pour ces exemples, cela me parait bien plus clair. En fait, peut être qu'il faudrait plutôt dire que U est inclus dans R (c'est ce qui est écrit dans mon cours de seconde) plutôt que je dise que cela appartient à R, ce qui prête à confusion.


J'aurai une autre question qui porte toujours sur les intervalles et inégalités. Je suis dans les suites en ce moment. Du coup je me demandais si lorsque l'on me dit par exemple :

(Un) est strictement croissante et Un supérieur à 2 et inférieur à 6

Est-ce que cela veut dire que 6 est le plus petit majorant de la suite ? (Je suis allée voir dans un cours de TS pour comprendre, je me trompe surement)
Je me pose la question parce qu'habituellement, quand on me demande d'encadrer f(x) pour une fonction (avec x appartenant à une certaine intervalle), il faut toujours encadrer f(x) le plus précisément possible...

Je ne sais pas si vous voyez ce que je veux dire, mais ça me perturbe

[titine]

Tout ce que tu peux dire c'est que, pour tout n, 2 U(n) < U(n+1) 6
C'est à dire que 2 U0 < U1 < U2 < U3 < ......... 6
Mais rien n'empêche qu'en réalité tous les termes de la suite soient inférieurs ou égaux à 4.
Si 2 U0 < U1 < U2 < U3 < ......... 4 tu peux bien dire que :

(Un) est strictement croissante et Un supérieur à 2 et inférieur à 6

Et dans ce cas là il est clair que 6 n'est le plus petit majorant de la suite car 5 ; 4,5 ; 4 ; ... sont aussi des majorants de ta suite.

Ok ?

[Sarah26]

Tout ce que tu peux dire c'est que, pour tout n, 2 <= U(n) < U(n+1) <= 6
C'est à dire que 2 <= U0 < U1 < U2 < U3 < ......... <= 6
Mais rien n'empêche qu'en réalité tous les termes de la suite soient inférieurs ou égaux à 4.
Si 2 <= U0 < U1 < U2 < U3 < ......... <= 4 tu peux bien dire que :

(Un) est strictement croissante et Un supérieur à 2 et inférieur à 6

Et dans ce cas là il est clair que

Ok je comprends,

Merci beaucoup

[Sarah26]

Si on dit que U appartient à R, il faut que U puisse prendre toute les valeurs de R sans condition

c'est faux

Pourriez-vous m'expliquer pourquoi svp ?

Merci

[titine]

Georges est Européen. Il est dans une prison française suite à un vol à main armé. Il ne peut donc pas vivre en Angleterre.
Dire qu'il est Européen ne veut pas dire qu'il puisse vivre n'importe où en Europe !

Dire que U appartient à R ne veut pas dire que U puisse prendre toutes les valeurs de R.
En effet si U est un réel positif, tu peux bien dire que U appartient à R et pourtant il ne peut pas prendre de valeurs négatives.

[mathelot]

Si on dit que U appartient à R, il faut que U puisse prendre toute les valeurs de R sans condition

c'est faux

Pourriez-vous m'expliquer pourquoi svp ?

Merci

prendre pour U la constante 1.

[Sarah26]

Georges est Européen. Il est dans une prison française suite à un vol à main armé. Il ne peut donc pas vivre en Angleterre.
Dire qu'il est Européen ne veut pas dire qu'il puisse vivre n'importe où en Europe !

Dire que U appartient à R ne veut pas dire que U puisse prendre toutes les valeurs de R.
En effet si U est un réel positif, tu peux bien dire que U appartient à R et pourtant il ne peut pas prendre de valeurs négatives.

Oui mais si on par de ce principe, si dans un exo, on mon dit que x appartient à l'intervalle [4;9], comment être sur que x puisse prendre toutes les valeurs de cette intervalle, bien que x en fasse partie ?

[titine]

Si on te dit "Pour tout x appartenant à [4;9]" cela signifie que x peut prendre toutes les valeurs de cet intervalle.
Si on te dit juste que x appartient à [4;9] , tu ne peux pas être sûr que x peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle.

Par exemple, lorsqu'on te dit "Soit x un nombre réel tel que 2x+3=9"
x ne peut pas prendre n'importe quelle valeur dans R. En fait, x ne peut prendre, dans ce cas, que la valeur 3.

[Sarah26]

Si on te dit "Pour tout x appartenant à [4;9]" cela signifie que x peut prendre toutes les valeurs de cet intervalle.
Si on te dit juste que x appartient à [4;9] , tu ne peux pas être sûr que x peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle.

Par exemple, lorsqu'on te dit "Soit x un nombre réel tel que 2x+3=9"
x ne peut pas prendre n'importe quelle valeur dans R. En fait, x ne peut prendre, dans ce cas, que la valeur 3.

D'accord, je pense avoir mieux compris
Merci beaucoup