Intervalle et infini

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marcheur
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Intervalle et infini

par marcheur » 14 Fév 2017, 00:23

Je vous soumets une remarque banale au sujet de l'infini (peut être plus philo que math) .

Ici je parle d'infini dans le sens le plus neutre : collection d'unités et cela rejoint un sujet que j'avais posté il y a longtemps .

Imaginons un intervalle infini entre a et b , on le nommera X :


X = [a,..................................,b]

L'infini est désigné par les points .

Puisqu'il y a intervalle infini entre a et b et qu' il y a des éléments en nombre infini entre les deux , on peut appeller cet intervalle un écart infini .


Ce qui nous donne deux "ensembles" infinis distincts :

Y = [a,................,p] désignant les éléments en nombre infini se trouvant à une distance finie de a et où p est le dernier élément .

W = [m,.................b] désignant les éléments en nombre infini se trouvant à une distance finie de b et où m est le dernier élément (sur la gauche en partant de b) .

Il y a une infinité d'éléments entre a et p comme entre m et b mais il ne s'agit pas d'un écart infini pour autant puisque justement ils se trouvent tous à une distance finie les uns des autres dans ces ensembles donc y compris par ex a et p.

Nous avons donc ici p et m ne faisant pas partie des mêmes "sous ensembles" infinis de X puisqu'il s'agit de Y pour p et de W pour m .

L'union des deux sera donc X de cette manière là :

X = [a,................,p,m,.................b]



où on voit que p et m peuvent être considérés comme consécutifs .

Il y a donc une coupure entre p et m d'une nature très singulière (peut être du genre de certaines de Dedekind) .


Je poste ça à " Lycée" un peu par hasard .

Sur un autre forum , ce sujet n'a pas suscité de grandes réactions , du genre : "mais c'est évident , trivial" ou
" impossible ce truc là " .



L.A.
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Re: Intervalle et infini

par L.A. » 14 Fév 2017, 08:45

Bonjour,

peut être qu'un exemple aidera à mieux comprendre ton raisonnement ou à fixer les idées :

si je prends a = 0 et b = 1, de sorte que X = [0 ; 1], alors que valent p et m selon toi ?

Qu'est-ce que tu entends par "Y l'ensemble des points à distance finie de a" ? dans mon exemple, sachant que b est à distance 1 de a, tous les points de X sont à distance finie (inférieure à 1) de a et donc techniquement Y = [a ; b] = [0 ; 1] = X et accessoirement p = b = 1.

Je pense que ce n'est pas ce que tu as voulu dire, mais... c'est ce que tu as dit. Veux-tu dire par exemple que Y est l'ensemble des points qui sont plus proches de a que de b ?

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Re: Intervalle et infini

par beagle » 14 Fév 2017, 09:26

tu parles de collection d'unités, et également tu parles de : p et m peuvent être considérés comme consécutifs
donc tu bosses dans l'infini de IN ?????
euh avec des intervalles dans IN qui sont infinis, euh??

coupure de Dedekind ça a l'air sympa, mais faudrait quand même que je m'accroche ...
Et fort heureusement la coupure Dedekind c'est pour les réels...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

marcheur
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Re: Intervalle et infini

par marcheur » 14 Fév 2017, 18:17

Bonjour (j'avais oublié au départ) ,


Dans mon exemple l'intervalle X n'est pas un ensemble à proprement parler et n'est pas du type [0;1] , c'est Y ou W qui sont plutot de ce type . Mais ce n'est même pas le cas car :

Le premier nombre directement aprés 1 dans [0;1] ne se trouve pas coupé de 1 .

Le problème (et c'est en cela que c'est surement plus philo que math en définitive) c'est que m et p se suivent directement mais sans se toucher si vous voulez , il y a une coupure entre les deux .

Comme si on ordonnait une infinité de choses et qu'on y arrive (idéalement) jusqu'a m et qu'on préssente un inconnu p qui lui , fait suite directement mais n'a plus rien à voir avec cet infini Y où on est .

Par exemple ça pourrait être une chose de ce genre :

chaque élément de cette intervalle est un élément composé ; l'infinité des éléments de Y ont en commun une propriété , y compris p mais m qui suit n'a pas cette propriété mais une autre .

Je ne suis pas assez matheux pour savoir mais peut-être y a t-il un peu ce genre de coupure entre aleph 0 et aleph 1 ...
Mais je ne crois pas puisque les ensembles (dans la théorie des ensembles habituelle) sont comme des boites contenant ce qui précède à chaque fois .

L'ordre des éléments serait ici comme un méta classement , il y aurait un ordre linéaire admettant des coupures conceptuelles .

L.A.
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Re: Intervalle et infini

par L.A. » 14 Fév 2017, 22:13

Ce que je peux te dire, c'est que dans certains ensembles, qui sont pourtant totalement ordonnés, on ne peut pas parler d'éléments consécutifs, pour la raison que entre deux éléments distincts il s'intercale toujours un troisième élément (et par conséquent une infinité d'éléments). C'est le cas des ensembles R des nombres réels et Q des nombres rationnels, munis de leur relation d'ordre usuelle, puisque entre deux éléments p < m il s'intercale toujours leur moyenne p < (p+m)/2 < m.

Donc, quand tu réalises une coupure de Dedekind dans ces ensembles, c'est à dire une partition en deux intervalles, soit l'intervalle de gauche Y n'a pas de plus grand élément p, soit l'intervalle de droite W n'a pas de plus petit élément m, soit aucun aucun des deux n'en a (ce qui arrive dans Q et signifie que la coupure correspond à un nombre irrationnel).

Dans R il n'existe aucune partition de la forme |... , p] U [m , ... |, les seules coupures envisageables sont de la forme |... , p] U ]p , ...| ou |... , m[ U [m , ...|. On rejoint ici plusieurs propriétés fondamentales de R (borne supérieure, borne inférieure, connexité, etc...).

marcheur
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Re: Intervalle et infini

par marcheur » 15 Fév 2017, 18:10

Merci L.A. pour tes explications .

Je suppose que " ne pas avoir de plus grand ou plus petit élément " va de pair , est la même chose que le fait qu'il y ait toujours un élément qui s'intercale .

Mais cette explication n'est pas satisfaisante car trop mathématique et pas assez possible concernant le réel . Je dis ça juste en passant parce que de toute façon on est dans le domaine des maths (surtout ici ce forum) .

Dans ce type d'ensemble math que tu décris , on part d'un ensemble déja présupposé , d'un ensemble-bloc et on divise ou on intercale ensuite .

Dans mon exemple il y a réelle suite , consécution des éléments dés le départ et donc rien entre m et p mais pourtant il ne font pas partie du même ensemble .

|... , p] U ]p, ...| : je suppose que cela pourrait vouloir dire que p plus grand élément dans Y est aussi le plus petit élément dans W . Mais cela n'est pas une réelle coupure , c'est juste un choix arbitraire de séparation qui aurait pu être n'importe où ailleurs .
J'ai l'impression que chez Dedekind une coupure est plus que ce fait là (mais peut être pas aussi poussée que dans mon exemple) .



C'est très particulier tout ça mais si j'ai pris soin de mentionner qu'il s'agit dans mon exemple d'unités c'est bien parce que je sais que dans le cas des nombres c'est autre chose .

Pour moi ici [1,1,...] ne veut pas dire [1,2,...] : le deuxième 1 n'est pas plus grand que le premier , il n'est pas égal à deux , c'est simplement qu'il se trouve à cet endroit là et pas ailleurs .
p est le dernier mais il n'est pas le plus grand dans Y , il est le plus loin en prenant Y à la fois comme succession , consécution (= construction) et comme bloc = c'est d'un coup , d'emblée , en un instant que m est le plus loin de a à l'infini (sans écart , distance infinis) .


Peut-être que malgré tout j'ai tort de penser qu'il y a un dernier à l'infini et qu'il serait plus exact de penser qu'il n'y en a pas et donc d'emblée considérer deux 'blocs infinis' Y et W , mais je ne vois pas trop la différence entre ces deux approches .

La question serait donc plutôt : est-ce que deux 'ensembles' infinis successifs (qui se suivent suivant tel ou tel point de vue) et néanmoins séparés correspondent à quelque chose en maths ( dans Q ou autres) .

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Re: Intervalle et infini

par Ben314 » 15 Fév 2017, 19:06

Salut,
A mon avis, il y a un problèmes "de base" dans toute ta prose :
Tu veut absolument raisonner en termes "pas trop mathématique" avec une "réelle suite" que tu suppose... infinie...
Sauf que des chose qui sont à la fois réelles et infinies, ben ça c'est évident que ça existe pas : l'infini, ça ne peut être qu'une "vue de l'esprit" totalement abstraite et pas autre chose, donc un truc sur lequel on ne peut travailler que et exclusivement que en faisant des "vrai maths" totalement abstraite qui n'ont pas d'équivalent dans le monde concret. Donc avec des définitions extrêmement rigoureuse de ce qu'on manipule et, évidement, l'impossibilité complète et absolue de se fier à une "intuition concrète tirée du monde réel" pour faire une quelconque déduction.
Bref, ça doit faire 12 358 fois que je le dit, mais l'infini, on ne peut pas le manipuler de façon "naïve" sans tomber illico sur des tonnes de paradoxes en tout genre qui ont émaillés l'histoire des mathématiques depuis les Grecs anciens (paradoxes de Xénon) jusqu'à très récemment (paradoxe de Russel)

Bref, soit tu accepte le modèle de L.A. çi dessus qui parle de "vrai math" et c'est plié, soit tu l'accepte pas et tu va écrire n'importe quoi pendant des lustres...
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Re: Intervalle et infini

par marcheur » 16 Fév 2017, 00:40

Cher Ben314 ,

Les explications de L.A. me conviennent parfaitement puisque il me dit ce qui est admis et trouvé en maths .

Si ce dont je parle peut avoir un équivalent approximatif en math , c'est tout ce que je cherche .

Maintenant il faut s'entendre sur ce qu'on appelle réel . Si on limite le réel à ce dont on peut faire l'expérience , le concret humain , etc .. alors bien sûr il y a des choses qui ne correspondent à rien ( infini , ensembles , etc ...)
mais si on élargit et qu'on considère que le réel dépasse de loin tout ça comme c'est le cas chez bon nombre de philosophes alors on peut y réfléchir .

Des mathématiciens et/ou des philosophes comme Leibniz ou Cantor pensent le réel dans ce sens là comme infini . Infinité actuelle de monades chez Liebniz par ex . En astrophysique certains scientifiques soutiennent que l'univers ou les multivers sont en nombre infini , ...

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Re: Intervalle et infini

par Ben314 » 16 Fév 2017, 08:15

Certes, mais chez les philosophes, comme chez les matheux, cette notion de l'infini reste une "vu de l'esprit" et la bête preuve, c'est par exemple qu'ils ne sont pas tous d'accord sur ce point alors que si c'était parfaitement concret, ben y'aurais pas ce problème.
Et c'est évidement la même chose chez les astrophysiciens ou autre : le fait que seuls certains pensent qu'il y a une infinité de n'importe quoi montre bien que c'est tout sauf une "réalité objective".

Ensuite, si on veut rentrer dans le détail, concernant Leibniz, je sais pas trop quel était son point de vue concernant l'infini, mais sauf erreur, l'apport de Leibniz en math n'a rien apporté en math concernant l'infini à part, comme d'habitude... des paradoxes... : il a principalement œuvré sur la notion de fonction puis sur celle d'infinitésimaux et je ne sait pas quelle "vision" lui avait de ces infinitésimaux, mais par contre, je sais que l'autre "père fondateur" de ces fameux infinitésimaux, à savoir Newton était parfaitement conscient que mathématiquement parlant, leur dx à la fois nul et non nul en fonction du contexte, ben ça tenait pas trop la route au niveau logique. Ca permettait effectivement d'obtenir des résultat correct concernant les tangentes, mais la méthode laissait beaucoup à désirer et il a fallu attendre Cauchy pour avoir des définition considéré par l'ensemble des matheux comme "rigoureuses" (et dans lesquelles il n'est nul référence à quoi que ce soit d'infini).

Et concernant Cantor, là, à mon sens, c'est encore pire vu que ça va on ne peut plus clairement dans le sens que j'expose précédemment : Cantor a certes manipulé des infinis (et pour la première fois sans tomber immédiatement sur des paradoxes), mais justement, c'était non seulement un matheux, mais aussi (surtout) un logicien père des systèmes axiomatiques actuels (théorie des ensembles) donc quelqu'un pour qui, très très très clairement, les maths., c'est pas un truc qu'on fait "en se fiant au bon sens" mais des trucs qu'on fait dans un cadre totalement abstrait, c'est à dire en partant d'axiomes qui n'ont pas à être "justifiés" par quoi que ce soit de concret.
Et évidement, il ne faut pas oublier que Cantor n'est pas tombé immédiatement sur des paradoxes, mais que Russel a fini par en trouver un (ainsi que Richard, Berry et d'autres) ce qui rendait la théorie de Cantor contradictoire (on a mis "des rustines" depuis pour éviter ces paradoxes, mais le moins qu'on puisse dire, c'est que ces "rustines" n'ont absolument rien d'intuitif)

Enfin bref, fait comme tu veut, mais les plus de 2 millénaires d'histoires des mathématiques montrent que de vouloir "jouer" avec l'infini en restant à un niveau "intuitif", ben ça conduit à rien d'autre qu'à des paradoxes.

P.S.
marcheur a écrit:Maintenant il faut s'entendre sur ce qu'on appelle réel . Si on limite le réel à ce dont on peut faire l'expérience , le concret humain , etc .. alors bien sûr il y a des choses qui ne correspondent à rien ( infini , ensembles , etc ...)
mais si on élargit et qu'on considère que le réel dépasse de loin tout ça comme c'est le cas chez bon nombre de philosophes alors on peut y réfléchir .
Effectivement, il faut s'entendre sur les définitions : pour moi, le "réel", c'est ce qu'on peut mesurer avec un appareil de mesure physique et donc clairement les "pérégrination mentales" des philosophes et... les déductions axiomatiques des matheux, ben c'est pas du tout du "réel".
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L.A.
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Re: Intervalle et infini

par L.A. » 16 Fév 2017, 12:39

Ah, l'éternel affrontement entre le cerveau gauche et le cerveau droit...

Pour commencer, je crains que même si l'on s'en tient à ce qui est "réel", physique, concret, naturel, observable, reproductible, l'intuition ne nous permette pas de tout comprendre. Il suffit de voir ce qui se passe à des échelles un peu différentes de la nôtre. La mécanique quantique ou la mécanique relativiste sont totalement contre intuitives : une pomme qui tombe (pour paraphraser l'intuition de Newton) ne se transforme pas spontanément en onde, pourtant c'est ce que fait un électron qui est bombardé sur une fente de diffraction. Elle n'a pas l'air de courber particulièrement l'espace-temps autour d'elle, pourtant c'est ce que fait un trou noir, ou plus proche de nous, le Soleil vis-à-vis de l'orbite de Mercure.

Et quand l'intuition fait défaut, on bascule de l'autre côté du cerveau, on modélise et on raisonne. Euclide nous parle de points, de droites et de cercles comme étant "sans épaisseur", pas parce qu'il espérait un jour réussir à les tracer sur le papier ou dans le sable comme on faisait à l'époque, mais parce que c'est une simplification extrêmement utile et qui va permettre de bâtir un raisonnement. Effectivement c'est plus simple de considérer deux droites idéales qui se coupent en un point unique plutôt que deux couches de molécules de graphite vaguement alignés qui passent l'une par dessus l'autre en formant une espèce de tache.

Ayant fait ce choix à la fois de simplification et d'abstraction, on ne peut pas espérer que ce petit monde se comporte de façon intuitive... ce n'est pas parce que deux pommes peuvent être posées côte à côte sur une table que deux points supposés sans épaisseurs peuvent l'être aussi. En toute logique, deux points sans épaisseur "côte à côte" ne peuvent être que confondus (fondus l'un dans l'autre), et deux points sans épaisseur qui ne sont pas confondus ont entre eux un certain espace occupé par une infinité de points sans épaisseur. Je répète, c'est en toute logique, il ne s'agit pas d'intuition mais de déduction.

Donc je dirais que l'intuition a ses limites, ou qu'en tout cas elle a besoin de "mises à jour" au fur et à mesure des nouvelles observations. La logique et le raisonnement eux sont intemporels : ce qu'a dit Euclide il y a 2300 ans est toujours valable aujourd'hui dans sa logique interne, ce qui est la seule chose qu'on lui demande. Si en plus ces raisonnements prédisent des phénomènes qui se vérifient après coup, comme c'est le cas régulièrement en physique des particules par exemple, il y a tout intérêt de continuer de les explorer. Attention je ne dis pas que la raison elle n'a pas de limites ; simplement, en tant que mathématicien, j'en fais le pari 8-)

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Re: Intervalle et infini

par beagle » 16 Fév 2017, 13:22

Bah il me semble que l'intuition est première face à un problème, et que si elle n'est pas dernière non plus ben cela crée un malaise.
L'intuitition est première, cela s'appelle l'expérience.et face à un problème si Ben314 va le résoudre avant beaucoup sur ce forum, ben cela vient au départ de son expérience qui va l'orienter vers.
alors bien sur ensuite la logique implacable, les connaissances techniques, savoir les manipule, prennent le relai.

Maintenant si à la fin d'un problème , ta logique calculatoire aboutit à un alors x= 5 ou -1, et que ton esprit voit bien pourquoi -1 mais n'a pas d'image de pourquoi cela marche avec 5, et bien il en ressort un malaise.

le problème ici est que l'intuition n'aboutit pas à créer du raisonnement.
J'ai l'intuition que cela pourrait marcher comme cela, ...
oui mais derrière je laisse les mathématiciens faire le boulot.
Sauf que lorsque les mathématiciens disent derrière moi j'arrive à rien avec ton truc, c'est l'impasse.
Cela me rappelle les différentes cardinalités de l'infini avec si A inclus dans B alors même si c'est le même infini il doit bien avoir une cardinalité inférieure.Ben cela restait une intuition qui ne débouchait sur rien, si ce n'est sur des contradictions...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: Intervalle et infini

par L.A. » 16 Fév 2017, 18:48

Evidemment, c'est tant mieux si la raison et l'intuition fonctionnent en harmonie, autrement dit si on a une à la fois une intuition raisonnée et une raison intuitive un peu à la Euler... il n'en demeure pas moins que l'intuition reste du domaine de l'intime alors que la logique est partagée par tous. Quelqu'un qui a une intuition peut très bien tomber face à quelqu'un qui a l'intuition contraire : si aucun des deux n'a de preuve, à part jouer à qui a la plus grosse (paire d'oreilles), je ne vois pas trop comment ils vont pouvoir arriver à un compromis. Non, chacun repartira de son côté avec son intuition bien à lui, plus celle que l'autre est un crétin.

Il se peut aussi qu'un même individu ait deux intuitions contraires sans même savoir qu'elles le sont. Pour ma part, je trouve intuitif que si l'on se trouve face une collection d'ensembles tous non vides, on puisse piocher un élément dans chacun de ces ensembles (axiome du choix). Je trouve par contre absurde l'éventualité que je puisse partager une pizza en un nombre fini de parts, et obtenir non plus une mais deux pizzas identiques à la première simplement en réorganisant les morceaux (paradoxe de Banach Tarski). Pourtant cette deuxième situation se déduit logiquement de la première (si ma pizza est un segment de R et si mon découpage passe par le choix d'un système de représentants du quotient R/Q... désolé si j'oublie les détails, mon cours de théorie de la mesure est un peu loin).

Inévitablement je devrais choisir un camp ou l'autre, me faire "choissiste" ou "antibanachtarskiste", mais mon rôle en tant que mathématicien n'est pas tant de militer pour une intuition ou une autre, un modèle ou un autre, que simplement de constater qu'elles sont incompatibles logiquement. Je vis donc très bien avec mes deux intuitions (qui ne sont que des intuitions) et la preuve qu'elles s'excluent l'une l'autre.

Et vous, vous choisiriez quoi ? :perv:

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Re: Intervalle et infini

par beagle » 16 Fév 2017, 19:31

Comme tu le dis, les deux vont ensemble,
et c'est bien mon manque de compréhension mathématique de ce qui se joue dans le paradoxe de Banach Tarski qui m'empèche d'en avoir une intuition acceptable.

Il me semble bien qu'un jour Ben314 m'a dit que l'ensemble vide dans certaines constructions géométriques était attribué de dimension -1.Je lui avais demandé quelle différence entre un point existant de dimension zéro, et un point qui n'existe pas.Bon si on me dit d'emblée un truc de dimension -1 je ne peux pas intuitionner cela.Mais si j'ai besoin de faire la différence entre mon point qui existe et celui qui n'existe pas, et si dans certains cas cela peut amener à lui donner une valeur -1, alors mon intuition est contente, ...
quelque part!!!!!!!!

Le reproche à faire à beaucoup de jeunes "illuminés" du forum c'est qu'ils débarquent avec leur intuition et il faudrait trouver un modèle maths qui convienne, et au lieu de chercher par eux-mêmes, de se casser les dents et donc d'abandonner cette intuition , ben ils demandent encore et encore aux matheux de trouver.
Perso je pense que l'intuition de quoi à joue dans tel ou tel problème maths est importante, mais elle doit correspondre à des maths réelles.
Et je ne trouve pas choquant que tu construises deux intuitions sur deux types de problèmes qui s'excluent.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: Intervalle et infini

par marcheur » 17 Fév 2017, 01:33

beagle ,

Je ne fais pas partie du genre d'illuminés dont tu parles puisque je demande seulement s'il y a quelque chose d'approchant dans les maths à ce que je dis . Je ne dis pas que mon exemple est mathématique . Vu qu'il s'agit d'infini quantitatif c'est les maths que j'interroge puisque c'est son domaine .
Je connais assez la philo pour savoir qu'il n'y a rien de très poussé concernant l'infini . J'ai lu quelques livres de philo sur l'infini en maths , comme par exemple un assez ancien qui s'appelle "De l'infini mathématique" par L. Couturat , ....

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Re: Intervalle et infini

par beagle » 17 Fév 2017, 09:04

Bonjour marcheur,
désolé pour "illuminé" qui déjà est entre ", mais qui de mon point de vue par forcement génant.
J'aime bien que de tels fils de discussion s'engagent.Et je les soutiens, des fois les modos sonnent la fin de la récrée alors que le sujet semble avancer même si lentement.Maintenant je suis également souvent frustré parce que les apports des matheux du site ne sont pas repris, exploités, et qu'alors deux monologues continuent.
Sur le sujet que tu as initié je ne comprends pas tout,
"C'est très particulier tout ça mais si j'ai pris soin de mentionner qu'il s'agit dans mon exemple d'unités c'est bien parce que je sais que dans le cas des nombres c'est autre chose .

Pour moi ici [1,1,...] ne veut pas dire [1,2,...] : le deuxième 1 n'est pas plus grand que le premier , il n'est pas égal à deux , c'est simplement qu'il se trouve à cet endroit là et pas ailleurs .
p est le dernier mais il n'est pas le plus grand dans Y , il est le plus loin en prenant Y à la fois comme succession , consécution (= construction) et comme bloc = c'est d'un coup , d'emblée , en un instant que m est le plus loin de a à l'infini (sans écart , distance infinis) .
"
je n'ai toujours pas compris si tu voulais bosser dans l'infini de IN ou pas,
je ne comprends pas la différence entre plus grand qui n'est pas plus grand (donc pas grand de cardinalité), mais c'est le plus éloigné = grand d'ordinalité,
je ne comprends pas trop car l'ordinalité c'est bien aussi des nombres, non?
que (a,b.c...) que c soit le 3 ordinal et pas le 3 de cardinailté, ok, mais tu bosses bien sur du IN avec ton ordinalité, non?
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Re: Intervalle et infini

par Ben314 » 17 Fév 2017, 12:13

L.A. a écrit:Et vous, vous choisiriez quoi ? :perv:
Déjà, pour répondre à cette question là, ben je choisirais... exactement comme toi..., c'est à dire que mon "intuition" me dit que l'axiome du choix est on ne peut plus "normal" et que le paradoxe de Banach-Tarski est on ne peut plus "anormal" alors que je sais prouver que l'un ne va pas sans l'autre.
Et si on veut aller "à peine plus loin" concernant le débat, ben tout ça conduit naturellement à éviter tant qu'on le peut l'utilisation de l'axiome du choix, mais à le prendre quand même lorsqu'on ne peut pas faire autrement.

Sinon, concernant le débat intuition versus formalisme, à mon sens, l'un des domaines les plus "élémentaires" où on peut justement donner des exemple du style "faire attention à l'intuition", ben c'est justement celui de l'infini où, pour donner le premier exemple qui me vient à l'esprit, un lycéen peut comprendre que, dans certains cas, on peut donner du sens à une somme infinie de réels (via la notion de limite bien sûr), mais que, par exemple la valeur de cette "somme infinie" risque de dépendre de l'ordre dans lequel on ajoute les éléments ce qui est pas trop trop intuitif...
Et par rapport aux messages de Beagle concernant le rôle de l'intuition, je plussois tout ce que dit L.A., à savoir que le sens de ma prose n'est pas du tout du tout qu'il faut "jeter l'intuition aux orties", mais simplement de comprendre qu'une intuition, ce n'est... qu'une intuition et rien de plus : ça sert de guide (indispensable) pour trouver éventuellement une preuve, mais ça ne constitue bien entendu pas une preuve.
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Re: Intervalle et infini

par beagle » 17 Fév 2017, 12:31

Bah si je taquine Ben314 sur l'intuition c'est juste qu'il m'arrive de lire des sujets maths sur ce forum qui dépassent mon niveau de collège.Donc il m'arrive de lire des trucs que je ne saurais manipuler sans me faire incendier dans une copie.Quant aux limites à l'intuition , je pense que l'on peut y arriver aussi en montrant les contradictions si on joue à la somme de séries par exemple.Mettre le nez sur les soucis potentiels cela peut aussi ètre le stade qui précède comment le faire proprement.Et il me semble que Ben314 répond fréquemment en disant si je fais comme toi avec cette variante là cela donne quoi? Euh oui un gros soucis, et on remercie Ben314.
Et fort heureusement je n'ai jamais considéré que l'intuition était démonstration.Bien sur que monter, démontrer est préférable à sentir.
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Re: Intervalle et infini

par Ben314 » 17 Fév 2017, 12:48

Sinon, si on revient au post de départ et qu'on cherche à le formaliser de façon mathématique, ça peut donner ça :
marcheur a écrit:Imaginons un intervalle infini entre a et b , on le nommera X :
X = [a,..................................,b]
Ca, pour que ça ait du sens, il faut donner du sens au terme "entre" (le reste à un sens "naturel" accepté par à peu prés tout le monde) et à priori, le matheux "de base" va sans doute (*) dire qu'on est parti d'un ensemble infini E muni d'une relation d'ordre et que d'être "entre" a et b, ça va signifier (définition) "être plus grand que a et plus petit que b" (à priori au sens large).
Mais là, déjà, le matheux "de base" va se poser une question : est ce qu'on suppose que la relation d'ordre sur E est "totale" ? est ce qu'elle fait de E un ensemble "bien ordonné" ?
Le fait que la relation soit totale n'est pas indispensable pour pouvoir définir le mot "entre", mais si elle ne l'est pas, les éléments "entre a et b" risquent de ne pas pouvoir être comparés les uns aux autres et le fait d'écrire l'ensemble des éléments "entre a et b" sous une forme [a .... b ] est on ne peut plus "piège à con".
Bref, le matheux lambda risque d'ajouter "relation d'ordre totale" dans la modélisation du bidule pour que la notation [a ... b] pour les éléments "entre a et b" lui semble pertinente.
Par contre le fait de supposer qu'on a affaire à un "bon ordre" ne semble pas indispensable pour le moment donc à priori on s'en passe et, pour le moment, on suppose uniquement que l'ordre est "total".
marcheur a écrit:Ce qui nous donne deux "ensembles" infinis distincts :
Y = [a,................,p] désignant les éléments en nombre infini se trouvant à une distance finie de a et où p est le dernier élément .
W = [m,.................b] désignant les éléments en nombre infini se trouvant à une distance finie de b et où m est le dernier élément (sur la gauche en partant de b) .
Arrivé à ce point, il n'y a pas de problème de définitions (vu qu'on a déjà défini ce qu'est l'ensemble [?...?] et que l'expression "à une distance finie" n'a à peu prés qu'une seule interprétation possible).
Par contre, il y a une affirmation totalement "gratuite" (c.a.d. sans la moindre preuve), c'est le fait qu'il y a une infinité de tels p et de tels m. Et dans le cas général d'un ensemble que l'on suppose juste "ordonné", il n'y a aucune raison qu'une telle affirmation soit vraie.
Si on suppose qu'on est dans le cas d'un ensemble bien ordonné, on peut effectivement démontrer qu'il va y avoir une infinité de tels p, mais même dans ce contexte là, rien ne prouve qu'il y a une infinité de tels m (**) : il faudrait d'autres hypothèses concernant la relation d'ordre pour pouvoir démontrer qu'il y a une infinité de tels m.
Et dans la liste des "définitions classiques" concernant les relations d'ordre, je n'en vois aucune qui permet d'aboutir à cette conclusion là.
Bref, arrivé à ce point là, le matheux "bloque", i.e. ne peut pas aller plus loin dans le raisonnement vu qu'il y a déjà une affirmation qui "tombe du ciel" et qu'il ne voit pas quelle hypothèse "usuelle" rajouter pour démontrer cette affirmation là.

(*) Mais déjà là, c'est pas clair : une autre interprétation possible (en math.) du mot "entre" est par exemple celui de la géométrie où les points situées "entre" deux points A et B, ce sont ceux formant le segment [AB] et ça n'a que peu de rapport avec le "entre" des ensembles ordonnés vu qu'on ne met en général pas de relation d'ordre sur l'ensemble des points du plan (et que les rare fois où on le fait, les deux notion de "entre" ne coïncident pas).
Et je pense qu'il y a d'autres contextes où en math., on utilise le mot "entre" avec une tout autre signification.

(**) On peut même rajouter que, si on suppose l'ensemble "bien ordonné" de façon à garantir qu'il existe une infinité de p, alors on peut démontrer qu'il ne peut pas exister une infinité m.
Donc si on cherche un "contexte" dans lequel il va exister une infinité de p ET une infinité de m, ce n'est pas celui des ensembles bien ordonnés.
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Re: Intervalle et infini

par marcheur » 17 Fév 2017, 19:25

D'après ce que tu dis Ben314 , on ne peut pas démontrer qu'il peut y voir Y et W et donc ça n'a aucun sens en math , c'est tout ce que je voulais savoir .
J'aurai pu ne donner aucun exemple et simplement poser la question de cette manière : deux ensembles infinis séparés consécutifs , est-ce que cela a un sens en math ?
Pour ce qui est des erreurs d'écriture de ma part , je pense qu'on comprend bien ce que je veux dire malgré ça .
Mais je ne vois pas la différence pour un ensemble infini (ordonné ou non) qu'on pense qu'il y a un dernier (ou plus loin , plus grand , ...) élément ou pas ...
Et par ex pareil pour le fait de dire qu'il n'y a pas de dernier élément dans N alors qu'il y en a un dans un segment comportant une infinité de points.
Autrement dit en gros : pourquoi ne pas considérer N comme un segment ? N , bien qu'infini est quelque chose de bien défini : si on légitime la limite inférieure d'où on part il n'y a pas de raison de ne pas légitimer la limite supérieure d'où on aurait pu partir (en allant de droite à gauche) .

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Re: Intervalle et infini

par Ben314 » 17 Fév 2017, 21:01

marcheur a écrit:D'après ce que tu dis Ben314 , on ne peut pas démontrer qu'il peut y voir Y et W et donc ça n'a aucun sens en math , c'est tout ce que je voulais savoir .
J'ai pas tout à fait complètement dit ça : ce que je dit, c'est que face à ton truc, le matheux reste "perplexe" vu qu'il n'y a aucun "contexte mathématique usuels" dans lesquels on peut démontrer qu'il y à la fois une infinité de p et une infinité de m.
Mais on peut évidement inventer un contexte de toute pièce qui ne fait pas partie des "contexte usuels" qu'on manipule la plupart du temps.
Par exemple, on considère au départ un ensemble totalement ordonné E tels que tout élément admette un "successeur" (i.e. quelque soit x dans E, il y a un minimum parmi les éléments strictement plus grand que x) et que tout élément de E admette un "prédécesseur" (i.e. quelque soit x dans E, il y a un maximum parmi les éléments strictement plus petit que x).
Dans ce contexte là, on démontre aisément que, si [a...b] est infini, alors on aura une infinité de p dans [a...b] tels que [a...p] soit fini et une infinité de m dans [a,b] tels que [m...b] soit fini.
Mais ce n'est pas un contexte "classique". Par exemple je pense pas qu'il y ait de nom "dédié" à un ensemble ordonné ayant une telle propriété et, parmi les ensemble "de base" des mathématiciens (N,Z,Q,R,C, etc..), seul Z vérifie cette propriété, sauf que, dans Z, on ne peut pas trouver de a et de b tels que [a...b] soit infini.
marcheur a écrit:J'aurai pu ne donner aucun exemple et simplement poser la question de cette manière : deux ensembles infinis séparés consécutifs , est-ce que cela a un sens en math ?
Oui, ça en a et c'est même "relativement" classique. Évidement, pour que le mot "consécutifs" que tu emploie ait du sens, ben il faut de nouveau avoir à sa disposition une relation d'ordre sinon on ne voit pas quel sens on peut donner à un tel mot.
Donc on se place dans le "contexte" des ensembles ordonnés. Et si on prend deux ensembles ordonnés distincts A et B, il y a un moyen très simple de mettre une relation d'ordre sur la réunion de A et B : lorsque tu as deux élément de A, ben tu les compare avec la relation d'ordre que tu as sur A. Idem avec deux éléments de B. Et si tu as un élément de A et un élément de B, tu décrète que systématiquement, celui de A sera plus petit que celui de B.
Tu vérifie ensuite qui tu as bien défini ainsi une relation d'ordre sur AuB (qui est totale si celles de A et de B sont totale et qui est un bon ordre si celle de A et de B le sont). Bref, pour un matheux, ce qu'on a fait, c'est effectivement de les mettre "séparés et consécutifs" mais ce qu'il faut absolument comprendre, c'est qu'avant d'utiliser ces termes de "séparés et consécutifs", il lui a fallu absolument définir ce que ça signifiait mathématiquement parlant et dans quel contexte ça avait du sens (donc icic dans le contexte des ensembles ordonnés).
marcheur a écrit:Pour ce qui est des erreurs d'écriture de ma part , je pense qu'on comprend bien ce que je veux dire malgré ça .
Mais je ne vois pas la différence pour un ensemble infini (ordonné ou non) qu'on pense qu'il y a un dernier (ou plus loin , plus grand , ...) élément ou pas ...
Et par ex pareil pour le fait de dire qu'il n'y a pas de dernier élément dans N alors qu'il y en a un dans un segment comportant une infinité de points.
Autrement dit en gros : pourquoi ne pas considérer N comme un segment ? N , bien qu'infini est quelque chose de bien défini : si on légitime la limite inférieure d'où on part il n'y a pas de raison de ne pas légitimer la limite supérieure d'où on aurait pu partir (en allant de droite à gauche) .
Le ENORME problème qu'à un matheux face à ce type de question, c'est que, pour qu'un matheux puisse répondre à une question, il faut absolument que chaque mot qui intervient dans le laïus soit parfaitement défini et qu'il ait un sens ne possédant aucune ambiguïté en mathématique.
Là, ton laïus contient des tonnes de mots qui possèdent effectivement des définitions en math, mais presque tous correspondent à plusieurs notions dans des cadres différents. Par exemple, le mot "segment" peut être utilisé dans le cadre des des espaces affines OU BIEN (à la rigueur) dans le cadre des ensemble ordonnées et que ça correspond pas du tout à la même chose dans les deux contextes.
Si on s'en tient à N par exemple, et qu'on se demande "est-ce un segment ?", là, ça semble plutôt être le cadre des ensembles ordonnés et, dans ce cas, il y a une définition mathématique qui dit qu'un segment, c'est l'ensemble des éléments compris au sens large entre deux éléments donnés d'un ensemble ordonné.
Et si on s'en tient stricto senso à cette définition (ce qu'un matheux va forcément faire), alors il n'y a aucun choix : N n'est pas un segment vu qu'il ne vérifie pas la définition et... y'a absolument rien à rajouter.
Par contre, l'ensemble [0,1] des réels compris (au sens large) entre 0 et 1, ça vérifie bien la définition, donc c'est bien un segment, mais [0,1[ (=le même privé du point 1) ben ça vérifie pas la définition donc c'est pas un segment.
Bien sûr, on peut inventer une nouvelle définition, mais tu comprend bien qu'il faudrait être un peu con pour que cette nouvelle définition RE-définisse un mot comme "segment" qui a déjà un sens précis donc faudrait pas appeler ça un segment mais par exemple un Tegment ou n'importe quel autre mot qui a pas déjà un sens dans ce contexte là.

Je sais pas si tout ça t'éclaire sur la façon (peut-être un peu bizarre) de fonctionner d'un mathématicien...
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