Intervalle et infini

[marcheur]

Ok Ben314 , tu expliques en plus relativement simplement donc ça me va .

Donc mon truc peut être admis , ça me suffit .

En fait ce qui peut prêter à confusion (y compris pour moi-même) c'est ces limites inférieures et supérieures .
Il suffit de s'en passer pour mieux comprendre .
Il y aurait simplement ceci :

Y = [ a,........] et W = [ ........,b] séparés .

Mais pour une compréhension encore plus claire et générale ce serait plutot :

Y = [ a,........] , W = [m ........] où ici on voit bien que c'est l'élément m qui suit le sans fin précédent ; on aurait le " qui est consécutif à p" vu comme une fausse piste , un faux problème .

[Ben314]

Je sais pas si ça va t'éclairer, mais un "modèle mathématique" dans lequel ce que tu raconte aurait du sens, ça pourrait être par exemple celui où on part d'un ensemble E contenant deux copies des entiers relatif, donc par exemple des entiers rouges et des entiers bleus (évidement considérés comme différents : deux élément de E sont "égaux" s'il sont de la même couleur et que c'est le même nombre).
Concernant la relation d'ordre qu'on met sur E, on compare "normalement" les bleus entre eux, par exemple 5<7 ainsi que les rouges -8<-5. Par contre on décrète (i.e. c'est une définition) que les rouges sont tous plus petit que les bleu : 3543< -725.
Alors, dans E, par exemple [0...0] c'est bien un "segment" avec une infinité d'éléments dedans : tout les rouges positifs et tout les bleus négatifs.
Ensuite, les p de E tels que [0 ... p] soit fini, c'est les entiers rouges positif, il y en a effectivement une infinité et il n'y en a pas de plus grand que tous.
De même les m de E tels que [m...0] soit fini, c'est les entiers bleus négatifs, il y en a une infinité et il n'y en a pas de plus petit que tous.
Dans ce cas de figure, ce que tu constate, c'est que tout les élément x du segment [0...0] sont soit dans une catégorie, soit dans l'autre, c'est à dire soit à "distance finie" du zéro rouge, soit à "distance finie" du zéro bleu et qu'il n'y a aucun élément à distance infini des deux.

Mais si tu réfléchi deux seconde, lorsque l'on a défini l'ensemble E, ben on aurait parfaitement pu intercaler un "truc" (pas forcément un nombre) entre les rouge et les bleu en décrétant (par définition) qu'il était plus grand que tout les rouges et plus petit que tout les bleus et dans ce cas là, ce "truc" aurait évidement été dans [0...0] et il aurait été (le seul) à distance infini à la fois du zéro rouge et du zéro bleu.
Par contre cet élément "truc" n'aurais pas eu de "successeur" : les éléments de E strictement plus grand que "truc", ça aurait été tout les entiers bleu et il n'y a pas de plus petit entier bleu. De même "truc" n'aurait pas eu de "prédécesseurs" vu qu'il n'y a pas de plus grand entier rouge.

Mais on aurait aussi pu "intercaler" entre les rouges et les bleus plusieurs éléments ("truc", "bidule", "chose"), voire même intercaler une nouvelle copie de Z dénommés par exemple "les entiers violets" et qui auraient tous fait parti de [0...0] et qui auraient tous été à distance infinie du zéro rouge et du bleu. Dans ce cas là, tout les violets auraient eu un "successeur" et un "prédécesseur", mais par contre, il n'existerait pas de "plus grand élément à distance infini du zéro rouge", ni de "plus petit élément à distance infini du zéro bleu" vu que dans les deux cas, il s'agit des entiers violets et qu'il n'y a évidement ni plus petit, ni plus grand entier violet.

Réfléchi à ces exemples (voire d'autre) pour voir qu'en math, tes truc, on peut éventuellement leur donner du sens, mais qu'évidement rien n'est "gratuit", c'est à dire qu'on peut jamais affirmer "gratuitement" que "on prend le plus grand qui..." ou bien "on prend le suivant de..." vu qu'il est fort possible qu'il n'y ait pas de "plus grand qui.." ou bien qu'il n'y ait pas de "suivant de ...".

Et à la limite, et ça t'éclairera pas mal sur ce que sont les maths, tu peut faire des hypothèses dés le départ concernant ton ensemble E, du style "je suppose que tout élément de E admet un suivant" ou des trucs du même style. Et ce faisant, tu risque effectivement de tomber sur des truc contradictoire au bout d'un moment et tu simplement aura prouvé (par l'absurde) que... il n'existe pas d'ensemble E ayant toutes les propriétés que tu demande...

[marcheur]

Ben oui voila c'était précisément ce genre de chose là que je voulais savoir .

Si j'avais un peu mieux précisé les choses dés le départ ...

Merci ami .