Intersection d'un cone et d'un plan

[fanatik]

Bonjour a tous, voila j'ai un exo a faire et j'aimerai bien que vous m'aidiez, svp
voici l'enoncé:

On considère le cône de révolution C d'équation:
x²+z²-y²=0
dans l'espace rapporté au repère orthonormal (0;i,j,k), ainsi que le plan P d'équation cartésienne z=1
1° vérifier que l'axe de C est parallèle au plan P
2° On appelle H l'intesection de C et de P, et est le point de coordonnées (0;0;1) .
démontrer que, dans le repère (;),i,j), H admet pour équation cartésienne:
(Y-X)(Y+X)=1
3° On désigne par u (vecteur) et v (vecteur) les vecteurs:
u (vecteur)= 1/2(i+j) et v (vecteur)= 1/2(-i+j).
Démontrer qu'un point M et P admet pour coordonnées (X;Y) dans le repère (;),u (vecteur),v (vecteur)) et en déduire que la courbe H est une hyperbole

voila merci de m'aider, merci d'avance :we:
a+
fanatik :langue:

[Eristoff]

L'équation d'un cône en coordonnées (a;b;c) de sommet O et d'angle au sommet p est, s'il est d'axe c, a²+b²=c²*tan²(p/2), selon la formule du cours de TS spé maths (je crois).
Or la tienne est x²-y²+z²=0 ; et, dans l'équation du cours, tout est positif, donc on met l'équation sous la bonne forme, et l'axe est...
Et l'équation du plan indique qu'il est orthogonal à l'axe z, donc...

L'intersection du plan et du cône est l'ensemble de points dont les coordonnées vérifient les deux équations (on a donc un système dont l'une des équations est z=1). En sortent : une équation en x et y qui ressemble fort à celle de l'énoncé, et z=1 ; or, en translatant le repère de O à ;), on se ramène à cette même équation en x et y et à z=0, on en déduit donc l'équation en x et y dans le plan d'équation z=1 et d'origine ;).

Je suppose que l'énoncé est en réalité "un point M de H" ou "un point M de P;)C". On a notre équation en x et y dans (;);i;j) (qui définit un point M de P) et on change en choisissant les bons x' et y' pour obtenir, dans le nouveau repère (;);u;v), les coordonnées (x';y') pour M ; et cette forme montre qu'on a une hyperbole (tout simplement parce que l'équation est alors y'=1/x').

Je te laisse rédiger...

[fanatik]

merci de ton aide mais le probleme c'est que je suis que en première S et je crois que tu t'est trompé car mon équation est sous la forme x²+z²-y²=0
et non x²-y²+z²=0. donc merci de m'expliquer merci d'avance
a+
fanatik :we:

[Eristoff]

Pour l'équation : l'addition est commutative.

Même en 1eS, tu as forcément des propriétés sur les cônes qui te donnent l'axe à partir de l'équation. Le reste ne requiert rien de bien compliqué