Interrogation sur les primitives

[Agassi]

Bonjour,
Après avoir retravaillé les primitives des fonctions usuelles, j'ai remarqué que les ensembles de définition des fonctions à primitiver coïncidaient tout le temps avec l'intervalle sur lequel les primitives étaient dérivables (je parle de la colonne "intervalle" que l'on peut trouver dans plusieurs tables de primitives). Est-ce toujours le cas?
Merci beaucoup d'avance pour vos éclaircissements!

[Agassi]

J'en profite au passage pour poser une autre question : dans la définition même de la primitive d'une fonction on précise toujours que cette fonction est continue sur l'intervalle d'étude... pourquoi cette condition?

[Kugge]

Bonjour,
Après avoir retravaillé les primitives des fonctions usuelles, j'ai remarqué que les ensembles de définition des fonctions à primitiver coïncidaient tout le temps avec l'intervalle sur lequel les primitives étaient dérivables (je parle de la colonne "intervalle" que l'on peut trouver dans plusieurs tables de primitives). Est-ce toujours le cas?
Merci beaucoup d'avance pour vos éclaircissements!

Il serait plus juste d'utiliser le terme "Intégrer" plutot que "Primitiver", ensuite ce n'est pas forcément toujours le cas.
On peut prendre, par exemple qui a comme primitive or est défini sur et est défini uniquement sur .

J'en profite au passage pour poser une autre question : dans la définition même de la primitive d'une fonction on précise toujours que cette fonction est continue sur l'intervalle d'étude... pourquoi cette condition?

Cela n'est pas vraiment dans la définition d'une primitive, a ma connaissance. La primitive d'une fonction est une fonction, qui, dérivée, donne la fonction dont elle est la primitive. (Le contraire de la dérivation)
Or les primitives sont beaucoup utilisées pour manipuler les intégrales, et lorsqu'on calcule une intégrale il est demandé que la fonction soit continue sur l'intervalle demandé pour que le résultat soit pertinent.

En espérant que cela réponde a ta question !

[GaBuZoMeu]

On peut prendre, par exemple qui a comme primitive or est défini sur et est défini uniquement sur .

Puis-je faire remarquer qu'une primitive de est , qui est bien défini sur ?

[Kugge]

Puis-je faire remarquer qu'une primitive de est , qui est bien défini sur ?

Au niveau fin terminale nous n'avons pas vu cela, mais toute information est bonne à prendre

[Agassi]

Merci à vous deux! je crois avoir beaucoup mieux compris

[Tuvasbien]

Remarque culturelle supplémentaire : il n'est pas nécessaire qu'une fonction soit continue pour calculer son intégrale (même si ça facilite grandement les choses). Le cas le plus courant est lorsque la fonction est continue par morceaux comme la fonction partie entière par exemple dont l'intégrale est parfaitement définie. On peut aussi penser à des monstres mathématiques un peu plus subtiles comme la fonction caractéristique des rationnels définie par :

Dans ce cas là tout dépend de la définition de l'intégrale qu'on utilise, au lycée on utilise l'intégrale de Riemann (que l'on peut voir comme une application de la méthode des rectanges) et dans ce cas là l'intégrale n'a aucun sens puisque la fonction n'est pas intégrable. En revanche l'intégrale de Lebesgue permet de donner un sens à son intégrale qui est alors nulle. Concernant le domaine de définition des primitives, si on définit une primitive d'une fonction quelconque alors doit être dérivable là où est définie, plutôt que d'appeler une primitive de on peut de façon plus précise définir comme une primitive de sur . Par exemple la fonction est une primitive de sur et est une primitive de sur .