Interprétation geométrique du PGCD

par **sue** » 28 Jan 2007, 20:41

salut !

une preuve ?

MERCI

par **sue** » 28 Jan 2007, 21:37

pour etre plus claire :

comment puis-je montrer que pgcd(a.b) = le nombre de points à coordonée entières appartenant à [OM] , tq M(a,b) et O(0,0) ??

par **Quidam** » 28 Jan 2007, 21:59

sue a écrit:pour etre plus claire :

comment puis-je montrer que pgcd(a.b) = le nombre de points à coordonée entières appartenant à [OM] , tq M(a,b) et O(0,0) ??

Ben, si tu commençais avec :
Soit a',b' un point à coordonnées entières de [OM]. Alors,

, d'où

M'étonnerait bien que tu n'arrives pas au bout...

par **sue** » 29 Jan 2007, 02:48

M'étonnerait bien que tu n'arrives pas au bout...

en pleines vaccances tt est possible :zen:

i.e il suffit de déterminer le nb de solution de cette équation t.q a,b,a',b' entiers nat.
on a a|ba' donc

ba'=ka
si a et b sont premiers entre eux , il ya une seule façon de choisir k .
si b|a alors il y a exactement b façon de choisir k (puisque K est inf à

) , on aura donc b couples (a',b')
sinon (b ne divise pas a) je vois pas comment l'exprimer , mais le résultat me semble évident juste en dénombrant. :triste:

c'est grave docteur ?

par **sue** » 29 Jan 2007, 04:28

Bonjour

M'étonnerait bien que tu n'arrives pas au bout...

bon ok ça motive :we: mais en pleines vaccances on sait jamais ...

""

""
ok . posons

, on a

et

tq

.
on a donc

soit xb'=ya' (on compte pas la solution triviale (0,0))
soit :

et

, Gauss me permet de conclure ;

tq

et

, donc il y a exactement

façons de choisir

(puisque a' et b' sont resp. inf ou = à a et b ) on obtient ainsi

couples

ça marche ?

par **sue** » 29 Jan 2007, 20:17

puis-je conclure que c bon ?

MERCI Quidam :we:

par **Quidam** » 29 Jan 2007, 20:38

sue a écrit:puis-je conclure que c bon ?

MERCI Quidam :we:

Mais certainement !

par **sue** » 29 Jan 2007, 20:43

ok , merci encore et bonne soirée :we:

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