DM. interet composé. 2nd

[Syl20]

Bonjour à tous !
Voilà, je suis en 2nd et j'ai un devoir maison sur les interets, je sèche à un certain endroit, voici l'énoncé :

Une somme placée sur un livret A de la caisse National d'Epargne produit des interets composés.

1)Montrer que, tant que le taux annuel de placement t reste constant, le capital acquis à la fin de chaque année est proportionnel au capital placé en début d'année.

2)En aout 2000, M. Lefranc place une somme de 15 000€ sur un livret A. Le taux en vigueur est de 3%. En combien d'années M. Lefranc pourra-t-il augmenter de moitié son capital initial ?

3)En aout 2003, le taux passe à 2,25%. Combien d'années supplémentaires, par rapport à ce qu'il avait envisager en plaçant son argent, M. Lefranc devra-t-il attendre pour augmenter son capital initial de moitié ?

Donc, pour la question 1), j'ai trouvé :
A = C x (1+t)^n
où A est la valeur acquise au bout de n années.

Et la question 2) :
(1/2)xC=Cx(1+t)^n
(1/2)15000=15000x(1+3%)^n
1/2=1,03^n

Et je n'arrive pas à trouver le nombre n d'années. Je suis ainsi bloquer pour la question 3.

Merci d'avance pour votre aide !

[bernie]

Bonjour,

1) Je ne suis pas tot à fait d'accord avec ta réponse. Soit C le capital en début d'année.

Les intérêts en fin d'année sont C*t/100 avec t=3 par exemple si le taux est de 3%


soit C*0.01t car t/100=t*1/100=t*0.01=0.01t



Donc le nouveau capital est C+C*0.01t=C(1+0.01t)


Donc on passe de C au 1er janvier à C(1+0.01t) au 31 déc avec donc un coeff de proportionnalité de (1+0.01t).

2) On aura au bout de 1 an un capital de 15000*(1+0.03)=15000(1.03)

et au bout de 2 années : 15000(1.03)(1.03)=15000(1.03)²

et au bout de "n" années : 15000*(1.03)^n

donc il faut :15000*(1.03)^n=15000+7500

(1.03)^n=22500/15000

(1.03)^n=1.5

Par tâtonnements tu trouves n=14 ans environ...sauf inattentions...

Tu finis.

A+

[Syl20]

Merci beaucoup pour la 1ere question !

Seulement voilà, nous sommes obligés de faire le 2) par tâtonnements...? Car ce qu'il faudrait, c'est que je le démontre, mais je ne vois pas comment en arrivant à l'égalité suivante : 1.03^n=1.5

Merci encore !

[bernie]

En seconde, tu n'as pas d'autre méthode que d'essayer :

(1.03)^5=1.16

(1.03)^10=1.34, etc.

Mais ça va vite!!

Et tu as compris jusqu'à :

15000*(1.03)^n=15000+7500

(1.03)^n=22500/15000=1.5

Oui?

A+

[Syl20]

Oui j'ai bien tout compris, merci bien !

Donc si se que je comprend colle, j'ai trouvé pour la question 3). J'ai noté :

22500 = 16390 * (1+2.25%)^n
22500 = 16390 * 1.0225^n
1.0225^n = 22500 / 16390
1.0225^n = 1.373
Ainsi, par tâtonnements, on a : n = 14

En août 2003, M. Lefrenc aura augmenté son capital initial de moitier 14 ans plus tard.
Ainsi, M. Lefranc verra son capital initial augmenter de moitié au bout de 17 ans (2003-2000=3; n+3=17)
Ainsi, par rapport à ce qu'il avait envisagé, M. Lefranc devra attendre 3 ans de plus (17-14=3) pour voir son capital augmenter de moitié.