Intégrales simples et doubles

[Anonyme]

bonjour,

J'aimerais savoir la différence entre une intégrale simple et une intégrale double..D'après ce que j'ai compris une intégrale simple c'est une aire .. et une intégrale double aussi, nan ? ... est-ce que la seule différence c'est que les intégrales doubles ne s'appliquent qu'à des domaines fermés ..??

merci par avance et désolé si ma question est un peu nunuche, hum ..

[phenomene]

Une intégrale simple est l'intégrale d'une fonction d'une variable (), une intégrale double est l'intégrale d'une fonction de deux variables ().
Typiquement, l'intégrale simple concerne une fonction d'une variable réelle (on intègre en général sur un intervalle de ), une intégrale double concerne une fonction de deux variables réelles (on intègre alors sur une partie "mesurable" de ).

Mais en vérité, cette distinction est assez artificielle, et quand on dispose d'une théorie de l'intégration abstraite et puissante comme celle de Lebesgue par exemple, la notion d'intégrale double perd de son intérêt (il suffit de poser pour se ramener à une fonction d'une variable , qui n'est certes pas réelle, mais ce n'est pas un problème lorsqu'on dispose d'une théorie abstraite de l'intégration).

[Anonyme]

salut,

merci pour votre réponse .. J'ai lu quelque part que les intgérales doubles (ou triples) ne sont définies que pour des domaines à déscription hierarchique, apparement c'est intégrer sur un domaine fermé ? ...Est ce que ça a du sens par exemple d'écrire ??

[phenomene]

Est ce que ça a du sens par exemple d'écrire ??

Oui, ça a du sens (enfin, si la fonction est intégrable sur ce domaine). En passant, est fermé (dans lui-même). Bon, en vérité, il existe plusieurs théories de l'intégration, et il faudrait préciser de laquelle on parle. Dans celle de Lebesgue, on intègre des fonctions mesurables, définies sur des ensembles mesurables. La condition sur l'ensemble d'intégration est sa mesurabilité et non sa fermeture. Et pour trouver des ensembles non mesurables au sens de Lebesgue, il faut faire un gros effort...

[MooMooBloo]

Ah, les integrales triples en physique sur une domaine fermé sont plus claires maintenant

[Anonyme]

ok merci bcp pour ta réponse phenomene, juste pour etre sûr de comprendre : pour intégrer sur un volume à t-on nécéssairement besoin d'une intégrale triple (explicitement, sans faire de changement de variables) ?

[phenomene]

Bonjour,

Si l'on intègre une fonction de trois variables, et si chaque variable est réelle, on l'intègre en effet sur une partie de , qu'on peut voir intuitivement comme un "volume". On notera traditionnellement cette intégrale .

Maintenant, les notations d'intégrales double et triple ont un côté un peu désuet et sont surtout des "résidus historiques", même si elles ont l'avantage d'être parlantes. Quand on parle de théorie de l'intégration abstraite, sur des espaces qui ne sont pas forcément des parties d'un , on a tendance à noter toutes les intégrales avec le symbole simple . D'ailleurs, rien que pour désigner l'intégrale d'une fonction de , si l'on devait aligner cent symboles d'intégrale, ce serait pénible !

[Ratatosk]

Euh...il me semble que ca fait partie des "résidus historiques" dont les SIste sont friands non?

[Anonyme]

D'ailleurs, rien que pour désigner l'intégrale d'une fonction de , si l'on devait aligner cent symboles d'intégrale, ce serait pénible !

j'avais pas pensé à ça ... pour résumer, traditionnellement:
- intégrale simple -> une aire (ou une somme ?),
- intégrale double -> une aire,
- intégrale triple -> un volume

et pour l'intégrale de lebesgue, une intégrale simple -> ça dépend du contexte.

.. j'ai bon ?

[Anonyme]

ps : par somme je voulais dire, est -ce que une intégrale ça marche sur une ligne par exemple ?

[Anonyme]

loin de moi l'idée de m'imposer ...