Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque.

[Caro0530]

Bonsoir je suis en terminale ES. J’ai un exercice à faire sur le chapitre d’intégration et je ne comprend pas trop c’est un chapitre que nous avons commencé pendant le confinement donc c’est très compliqué de comprendre le chapitre et pouvoir faire les exercices. Pourriez vous m’aider ?

Voici l’exercice:

Exercice 15.
Un responsable marketing réfléchit à la création du logo d'une nouvelle entreprise. Son projet est représenté dans le repère ci- dessous par les courbes Cf et Cg représentatives des fonctions f et g définies sur l'intervalle [0 ; 5] par
f ( x ) = − x + 5 e t g ( x ) = 4/x

(Il y a une courbe juste ici)



Le but de l'exercice est de déterminer l'aire, en unités d'aire, du domaine coloré.
1. Démontrer que pour tout x∈[1 ; 4], f(x)−g(x)= −x^2 +5x−4/x
2. Déterminer le signe de−x^2+5x−4/x sur l'intervalle[1;4].
3. Déterminer une primitive sur [ 1 ; 4 ] de la fonction x=-x^2+5x-4/x
4. En déduire, en unités d'aire, l'aire du domaine coloré.

[alma44]

Bonsoir,

Les 2 premières questions sont du niveau seconde.
Si tu es en terminale, elles ne doivent pas te poser de problème.
Regarde bien le texte.
Quand tu auras fait ça, on verra pour la suite.

[annick]

Bonjour,

as-tu fait les deux premières questions ?

Ensuite, pour trouver une primitive, il est plus facile de reprendre la forme initiale :

-x+5-(4/x) qui est simple à trouver avec le cours que tu dois avoir sur les primitives.

[Caro0530]

Pour la première question pour être sûre c’est donc:
On sait que f(x)=-x+5 et g(x)=4/x
On passe alors sur le même dénominateur:
Si f(x)=g(x) alors,
-x+5-4/x= -x*x+5*x/x- 4/x= -x^2+5x-4/x

Ensuite pour la question 2 on utilise delta
Et on trouve 2 racines et le dénominateur et donc supérieur à 0 donc positif. Alors le tableau de signe et donc - et + car a= -1 donc négatif

[Lostounet]

Pour la première question pour être sûre c’est donc:
On sait que f(x)=-x+5 et g(x)=4/x
On passe alors sur le même dénominateur:
Si f(x)=g(x) alors,
-x+5-4/x= -x*x+5*x/x- 4/x= -x^2+5x-4/x

Ensuite pour la question 2 on utilise delta
Et on trouve 2 racines et le dénominateur et donc supérieur à 0 donc positif. Alors le tableau de signe et donc - et + car a= -1 donc négatif

Salut,
Pour la 1) oki, modulo les parenthèses of course.
(-x^2+5x-4)/x

Ensuite c'est un peu rapide ce que tu dis, je détaille pour être sûr que nous sommes sur la même longueur d'onde:

Comme x appartient à [1;4] alors le dénominateur est forcément positif.

Ensuite, -x^2+5x-4 a pour discriminant delta=5^2-4*(-1)*(-4) = 25 - 16 = 9

Les deux racines sont donc x1=(-5-3)/(-2) ainsi que x2=(-5+3)/(-2) soit x1= 4 et x2= 1 ce qui signifie que -x^2+5x-4=-(x-4)(x-1)

Un tableau de signe faisant intervenir (x-1) et (x-4) montre effectivement que le numérateur est du signe contraire de a = (-1) entre ces deux racines, donc positif.
D'où -x^2+5x+4 est positif lorsque x appartient à [1;4].


Finalement, la fonction en jeu est positive sur cet intervalle, ce qui parait cohérent graphiquement: on a soustrait la petite fonction à la grande (celle dont la courbe au dessus - celle dont la courbe est dessous).

Maintenant tu peux continuer grâce à l'indication d'Annick que je salue au passage.
Comment vas-tu en ce confinement Annick? J'espère que tu vas bien ...!

[capitaine nuggets]

Salut !

Ok, le début ne me semble pas trop mal (après pour la question 1, tu mets "si ... alors" alors qu'en fait tu peux directement mettre des équivalences : équivaut à (calculs) équivaut à ).


3. Tu cherches une primitive de la fonction sur . Or on a montré que cette fonction était en fait la fonction . Donc trouver une primitive de revient à trouver une primitive de la différence de fonctions . Or une primitive d'une différence (ou somme) de fonction est égale à la différence (ou somme) des primitives de ces deux fonctions donc il suffit de trouver une primitive de et pour en déduire une primitive de . En résumé, si je note abusivement par le symbole pour signifier "une primitive de" alors je viens de dire que

.

Attention, je te rappelle que prendre une primitive d'une fonction revient à effectuer le processus inverse lorsque tu dérives une fonction dans le sens où dire qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction f revient à dire que .

Par exemple, considérons la fonction . Une primitive de cette fonction est donnée par la fonction . En effet, si tu dérives , tu remarques qu'elle doit valoir . Mais la primitive n'est pas unique, on aurait pu prendre par exemple , ou n'importe quelle autre constante additive puisqu'au final, en dérivant la constante devient nulle (mais en pratique on ne rajoute pas de constante additive, on la préfère nulle).

Entre autre, toute fonction admet une unique dérivée alors que toute fonction admet une infinité de primitives en ajoutant une constante additive quelconque. C'est pourquoi on parle de la dérivée d'une fonction et d'une primitive d'une fonction.

Dans l'exemple que j'ai pris précédemment :
- est la dérivée de la fonction ,
- est une primitive de la fonction .

Comme pour les formules pour exprimées des dérivées de fonctions, je te laisse voir les formules pour calculer des primitives de fonctions. Normalement, tu dois trouver :

,
.

4. Calculer l'aire de la partie colorée revient à calculer . En notant une primitive de la fonction , tu auras alors directement que



Je te laisse poursuivre

[Caro0530]

Je vous remercie pour les réponses vous m’avez beaucoup aidée. Je vais terminer voir si tout est bon