Intégrale et point fixe

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 21:47

un exo intéressant pourrait être de montrer qu'avec une fonction f positive sur I on a:

par **Ben314** » 05 Mar 2010, 23:05

C'est un "grand classique" (c'est un théorème assez "fin" que l'on utilise fréquement post bac).
Il faut évidement supposer f continue (sinon c'est faux).
C'est jouable avec les outils de term à condition de bien comprendre ce que veut dire la continuité la continuité d'une fonction (qui est archi indispensable...)

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 07:54

ouais bien sur elle est continue sur I et on l'utilise ben sur ...

par **Nightmare** » 06 Mar 2010, 13:09

Bon, je vais donc pouvoir proposer l'exo (même si c'est Ben qui l'a résolu :lol3:)

par **Ben314** » 06 Mar 2010, 13:16

Si tu veut le rendre "plus vicieux", tu peut prendre une fonction plus compliquée que g(x)=x comme seconde fonction.

Si tu veut le rendre plus "académique" tu peut le poser sous la forme :
"Montrer que si deux fonctions f et g continues sur [a,b] ont même intégrale sur [a,b] alors leurs graphe ont au moins un point d'intersection"

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 13:51

Ouais mais c'est déjà pas mal vicieux comme truc pour les lycéens, c'est ça qu'il faut voir aussi !!

par **Nightmare** » 06 Mar 2010, 13:57

Il faut dire aussi que c'est pour des élèves de terminale, je pense qu'ils sont plus à l'aise avec le TVI.

Ben > Je vais le poser avec l'identité et demanderai aux plus rapides s'ils voient une généralisation. :lol3:

:happy3:

par **Nightmare** » 06 Mar 2010, 14:10

Je vous soumets aussi celui-là que je pense cette fois-ci vraiment trop dur, je pense que je le donnerai avec un indice :

Soit continue et F sa primitive qui s'annule en 0.

On suppose de plus que, pour tout x, pour un certain entier k.

Montrer que f est nulle

Si Benekire peut me dire ce qu'il en pense ! (les autres aussi :lol3: )

P-S : Les exos peuvent paraitre très théorique pour des élèves de terminale, mais c'est fait exprès, le prof a demandé explicitement à ce que je pose des exos de ce type et non des exos type calculatoires. Et encore une fois, toute la classe n'est pas khôllée, seuls les 6-7 premiers (en maths) de la classe le sont (et les autres qui le souhaitent).

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 16:22

Je suis pas chez moi actuellement, mais ça s'annonce vraiment hard ton truc ...

Pour le fait que ce soit des exos théoriques, c'est bien, les élèves ne seront que mieux préparés je pense !!

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 16:26

Nightmare a écrit:Il faut dire aussi que c'est pour des élèves de terminale, je pense qu'ils sont plus à l'aise avec le TVI.

Ben > Je vais le poser avec l'identité et demanderai aux plus rapides s'ils voient une généralisation. :lol3:

:happy3:

Quelle identité ?

par **Ben314** » 06 Mar 2010, 16:37

benekire2 a écrit:Quelle identité ?

La fonction identité, c'est à dire la fonction g(x)=x.

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 16:42

j'ai pas grand chose pour réfléchir devant moi mais je tenterais bien un RPA en utilisant la continuité et ses conséquences de voisinage. Ou alors non :ptdr:

par **Ben314** » 06 Mar 2010, 16:49

Je ne sais pas si tu as vu les équations différentielles.
Si tu les as vu, ç'est ma première indication.
J'en met une deuxième (en blanc) çi dessous, mais elle "tue" un peu l'exercice, c'est a dire qu'avec elle, ça devient trop facile.

On pourra songer à étudier la fonction G(x)=exp(-kx)F(x)...

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 16:59

oui bien sur les equa diff, enfin j'ai pas un super niveau non plus, juste prog de TS + quelques compléments

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 10:08

Euh .. d'après les indications de Ben, je dérive G et j'obtiens G'(x)=(f(x)-kF(x))exp(-kx)

Or, G est croissante, donc G'>=0 ce qui nous donne :

f(x)>= kF(x) or par hypothèse on a f(x)=et là j'en déduis que f(x)= lambda/k * exp(kx)

ce qui bien sur ne peut pas être vrai parce qu'il faut montrer que ce sont que des fonctions nulles....

Où c'est que je me suis planté ?

par **Ben314** » 07 Mar 2010, 12:27

Là ou tu t'est "planté", c'est que je vois pas trop d'ou tu sort ton "G est croissante"...
Vu l'hypothèse f(x)<=kF(x), on a G'(x)=(f(x)-kF(x))exp(-kx)<=0 donc G est décroissante sur [0,+oo[

Sauf que, vu les hypothéses, G est positive sur [0,+oo[ et G(0)=0.
Ce qui ne laisse pas vachement le choix pour la fonction G...

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 12:46

a merde oui, effectivement. C'est con comme erreur. Merci bien ( nouveau concept qui permet de remercier fortement quelqu'un, en un seul mot ...)

PS: Je sais pas pourquoi j'avais pris G=-kFexp(-kx) ... alors que la dérivée n'était pas la mauvaise...

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 13:16

Salut vous deux !

Ok pour cet exercice, l'astuce donnée par Ben est ce que je donnerai en indication assez rapidement si l'élève ne trouve pas.

Je vous poste le 3ème? :happy3:

par **Ben314** » 07 Mar 2010, 13:19

Nightmare a écrit:Je vous poste le 3ème? :happy3:

Parce que il te faut une authorisation écrite et tamponnée pour tester tes "kholes" maintenant ???? :doh:

P.S. pour bénékire : Si tu prend G=-kFexp(-kx) ça change pas gras, elle est négative, croissante et nulle en 0...

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 13:25

vous avez aussi le droit d'en avoir marre des khôlles de terminale classiques pour toi, enseignant du supérieur :lol3:

Déterminer non identiquement nulle telle que

(A priori encore moins difficile que les deux autres, c'était aussi une raison pour ne pas le poster :lol3:)

:happy3:

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