Intégrale et point fixe

[Nightmare]

Disons que ce n'est pas incorrect, mais que ce n'est pas vraiment la négation de la stricte monotonie.

[benekire2]

D'accord d'accord ... c'est un état quantique on va dire ...

[Matt_01]

Bonsoir,

Pour le problème du c=0 :
Si le seul élément vérifiant |f(x)|=x est 0, alors on peut affirmer |f(x)|x sur R-*
L'équation implique donc nécessairement que pour x dans R+*, x et f(x) n'ont pas même signe, sinon il existe y>0 tel que y>f(y)>0 et donc |f(f(y))|Alors x et f(f(x)) ont même signe ce qui est contradictoire avec le fait que f(f(x))=-x

Je pense que cela règle le problème, même si on n'est pas à l'abri d'une bêtise de ma part.

[ffpower]

Je propose une suite à l'exercice :
2) Peux t-on trouver une f telle que f o f(x)=-x pour tout x et telle que f n'ait qu'un nombre fini de points de discontinuité?

[Ben314]

Bon, faut que j'aille me coucher (ça c'est la méga excuse... :zen: )
Aprés avoir beaucoup hésité, je pense que la réponse est non.

J'ai sous les yeux une fonction vérifiant fof(x)=-x définie partout sauf en 1 et -1 (je prend la courbe de x->1/x sur ]1,+oo[ et je la fait tourner 4 fois d'un quart de tour autour de O. evidement, je prend f(0)=0)
Il me reste 2 points à définir f(1) et f(-1) mais c'est insufisant pour faire un 4-cycle...

Faire des "trous" dans la courbe me fait passer le nombre de points à définir de 2 à 2+4k qui n'est pas plus multiple de 4 !!!

A mon avis il faut raisonner sur les points de discontinuité (autres que 0) et montrer qu'ils sont multiple de 4 (à cause de la rotation) maizaussi non multiple de 4 (et là j'ai pas trouvé pourquoi...)

[Ben314]

Bon, je pense avoir trouvé la soluce en me couchant (et j'ai effacé mon dernier post qui contenait trop d'indic)
Je "blanchi" la soluce s'il y en a d'autres qui veulent chercher...

SOLUTION :

f est bijective et on a forcément f(0)=0.
Si I1, I2, In sont les intervalles de R*+ compris entre deux points de discontinuité tels que Jk=f(Ik) soit lui aussi contenu dans R*+ alors I1, ..., In, J1, ..., Jn est clairement une partition de R*+ privé des points de discontinuité.
Il y a donc 2n-1 points de discontinuité sur R*+ donc 4n-2 sur R* tout entier.
Sauf que ces points s'envoient les une sur les autes en formant des 4 cycles x, f(x), fof(x)=-x, fofof(x)=f(-x)=-f(x) et que 4n-2 n'est pas franchement divisible par 4...

[ffpower]

Oui ca marche modulo les détails, et c'était aussi ma solution :+++: