Intégrale et point fixe

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 16:49

Salut à tous !

Un classique mais je suis curieux de voir comment les lycéens s'en sortent sur ce genre d'exercice :

Soit f une fonction continue sur [0,1] dont l'intégrale sur ce segment vaut 1/2. Montrer que son graphe croise la première bissectrice du repère (y=x)

Amusez-vous bien.

:happy3:

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 18:18

En fait on est tes cobayes avant que tu lance ça a tes élèves ... c'est ça ?

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 18:22

mais c'est une question qui mérite réflexion !!

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 18:33

Pour une fois, je trouve une solution rapide a l'une de tes "kholles" :

Comme dans la majorité des exercices " aux points fixes" au lycée, on va se servir de g(x)=f(x)-x

donc :

et de manière très simple ( mais une utilisation de rolle) on montre que g s'anule sur [0;1] ie on a bien un point fixe.

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 18:37

benekire2 a écrit:En fait on est tes cobayes avant que tu lance ça a tes élèves ... c'est ça ?

Oui et non ! Mon ancien lycée a une terminale "étoilée" où les élèves sont quasiment prédestinés à la prépa de ce même lycée. Leur prof de maths, un ami, me demande régulièrement de faire des khôlles à ses meilleurs élèves pour les préparer à l'année prochaine. Quand mes exercices me paraissent finalement un peu difficile effectivement je vous les propose avant.

:happy3:

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 18:41

benekire2 a écrit:Pour une fois, je trouve une solution rapide a l'une de tes "kholles" :

Comme dans la majorité des exercices " aux points fixes" au lycée, on va se servir de g(x)=f(x)-x

donc :

et de manière très simple ( mais une utilisation de rolle) on montre que g s'anule sur [0;1] ie on a bien un point fixe.

Ok pour l'intégrale, mais, qui est g? Et à qui appliques-tu rolle? Je rappelle que f n'est pas supposée dérivable !

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 18:41

Ah, le quotage m'a permis de repérer qui était g :lol3:

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 18:47

Nightmare a écrit:Ah, le quotage m'a permis de repérer qui était g :lol3:

c'est beau cet outil. Je vais rectifier deux secondes pour le rolle, je croyais me souvenir ...

Dans ton post d'avant il y a deux choses cool :
- Pouvoir coller, je trouve ça trop bien , j'espère un jour avoir cette chance
- Etre dans une terminale "étoilée" je pense que les exos sont plus réflchis, approfondis ... je n'aurais par contre jamais cette ocasion.

Tu parles de LLG ?

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 18:49

Non, ce n'est pas LLG (même si je crois qu'ils ont aussi des classes de secondaire étoilées, sauf que dans leur cas c'est peut être un peu moins ridicule :lol3: ) mais le lycée où j'étais au lycée moi même.

Concernant l'exercice, en supposant f dérivable pour te faire plaisir, comment utiliserais-tu Rolle pour conclure?

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 18:53

En fait, c'était un résultat que j'avais déjà démontrer, et c'est pas f que l'on dérive, mais ça primitive.

Donc on considère

or h(1)=h(0)=0 donc d'après le théorème de rolle, on a l'existence d'un réel pour lequel h'(c)=0 d'où g(c)=0 ce qui conclu.

Et on applique sur notre problème ..

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 18:57

Tu es sûr de prendre f comme intégrande? Dans ce cas h(1) ne vaut pas 0 mais 1/2 .

Par contre avec g à la place de f ça marche.

Bref, cela dit, évidemment, Rolle n'est pas au programme du lycée donc la preuve ne convient pas :lol3:

par **Nightmare** » 05 Mar 2010, 18:58

Et on va dire que je n'ai pas relevé le "ça primitive", autant pour la faute d'orthographe que pour la faute mathématique :D

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 19:04

Nightmare a écrit:Et on va dire que je n'ai pas relevé le "ça primitive", autant pour la faute d'orthographe que pour la faute mathématique

pointilleux jusqu'au bout quand tu veut ( j'en ai lu des posts sur l'ile ou tu rabâche une primitive et pas la ...)

bon ok c'est UNE primitive !! Et puis pour le français , et bien j'espère qu'il n'y a pas de prof de français dans le coin !!!

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 19:06

Nightmare a écrit:Tu es sûr de prendre f comme intégrande? Dans ce cas h(1) ne vaut pas 0 mais 1/2 .

Par contre avec g à la place de f ça marche.

Bref, cela dit, évidemment, Rolle n'est pas au programme du lycée donc la preuve ne convient pas :lol3:

J'aurais aimé te dire de faire prouver rolle dans une première question, mais ça fait appel à des propriétés vraiment vraiment vraiment Hors programme il me semble ( si l'on veut le prouver rigoureusement).

par **Ben314** » 05 Mar 2010, 19:09

Salut (encore encore encore moi.... :cry: )
Il me semble qu'il y a une soluce utilisant seulement les valeurs intermédiaires (plus ou moins admis au lycée il me semble) et... l'absurde.

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 19:18

Ben314 a écrit:Salut (encore encore encore moi.... )
Il me semble qu'il y a une soluce utilisant seulement les valeurs intermédiaires (plus ou moins admis au lycée il me semble) et... l'absurde.

Tu peut m'en faire part please :zen: ?

par **Ben314** » 05 Mar 2010, 19:21

Si f ne coupe pas la droite y=x entre 0 et 1, alors la fonction continue
x -> f(x)-x ne s'annule pas donc reste de signe (strict) constant et donc
f(x)>x sur [0,1] ou bien f(x)1/2 : absurde.

P.S. en fait la courbe de f coupe la courbe de toute fonction continue de même intégrale que f.

P.S.2 : En fait, il faut aussi savoir que l'intégrale d'une fonction continue strictement positive est strictement positive.
C'est connu au lycé ça ?

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 19:24

Joli.
Ben finalement sous cet angle il est parfaitement niveau TS.

par **Ben314** » 05 Mar 2010, 19:26

benekire2 a écrit:Joli.
Ben finalement sous cet angle il est parfaitement niveau TS.

Quoi ? On m'appelle ?

par **benekire2** » 05 Mar 2010, 19:50

Sans aucun doute :zen:

Intégrale et point fixe

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